中考数学考点讲解：平行四边形与多边形

第20讲平行四边形与多边形知识点1平行四边形的定义及性质1．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)A．45°B．55°C．65°D．75°第1题图第2题图2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(B)A．13B．17C．20D．263．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．知识点2平行四边形的判定4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)A．AB∥CD，AD∥BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CDD．AB＝CD，AD＝BC第4题图第5题图5．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件答案不唯一，如：AD∥BC(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.在△AED和△CFB中，∠ADE＝∠CBF，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF，∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AD＝BC.∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．知识点3多边形7．六边形的内角和是(B)A．540°B．720°C．900°D．360°8．内角和为540°的多边形是(C)9．十边形的对角线的条数是(C)A．7B．10C．35D．7010．十边形的外角和是360°．11．一个正十二边形的每一外角等于30°.重难点平行四边形的性质与判定如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB.(1)求证：四边形DBFC是平行四边形；(2)如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．【思路点拨】(1)由BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；(2)由平行四边形的性质得出CF＝BD＝2，由等腰三角形的性质得出AE＝CE，作CM⊥BF于M，则CE＝CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM＝22CF＝2，得出AE＝CE＝2，即可得出AC的长．【自主解答】(1)证明：∵AC⊥BD，∴∠DEC＝∠FCA＝90°，∴BD∥CF.∵∠CBF＝∠DCB.∴CD∥BF.∴四边形DBFC是平行四边形．(2)∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF＝BD＝2.∵AB＝BC，AC⊥BD，∴AE＝CE.作CM⊥BF于F.∵BC平分∠DBF，∴CE＝CM.∵∠F＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形．∴CM＝22CF＝2.∴AE＝CE＝2.∴AC＝22.【变式训练1】(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.证法二：连接AF，CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴OE＝OF.【变式训练2】如图，将▱ABCD的AD边延长到点E，使DE＝12AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵F是BC边的中点，∴CF＝12BC.∵DE＝12AD，∴CF＝DE.又∵CF∥DE，∴四边形CEDF是平行四边形．(2)过点D作DN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵AB＝3，AD＝4，∴FC＝12AD＝2，CD＝3.在Rt△CDN中，∵∠BCD＝60°，CD＝3，∴NC＝12DC＝32，DN＝332.∴FN＝12.∴EC＝DF＝DN2＋FN2＝7.,方法指导1．判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可以利用两个三角形全等或相似的性质进行求解．1．(2017·临沂)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是(C)A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．(2017·丽水)如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(C)A.2B．2C．22D．4第2题图第3题图3．(2017·衡阳)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是(D)A．AB＝CDB．BC∥ADC．∠A＝∠CD．BC＝AD4．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)A．14B．13C．12D．10第4题图第5题图5．(2017·广州)如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(C)A．6B．12C．18D．246．(2017·邵阳)如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为90°．第6题图第7题图7．(2017·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为30°．8．(2017·连云港)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝56°．第8题图第9题图9．如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是(7，4)．10．(2017·湘潭)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE和△FCE中，∠D＝∠ECF，DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC，∴BC＝FC.又AB＝2BC，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.11．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝12BC，连接CD和EF.(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)求四边形BDEF的周长．解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC中点，∴DE12BC.∵CF＝12BC，DECF.∴四边形CDEF是平行四边形．(2)∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF.∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2.∴DC＝EF＝BC2－BD222－12＝3.∴四边形BDEF的周长为：BD＋DE＋EF＋FC＋BC＝5＋3.12．(2017·孝感)如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，则下列结论成立的个数是(D)①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．A．2B．3C．4D．5第12题图第13题图13．(2017·成都)如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则▱ABCD周长为15．14．(2017·南充)如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S▱AEPH＝4．15．(2017·咸宁T18，7分)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：(1)∵BE＝FC，∴BC＝FE.··············2分在△ABC和△DFE中，AB＝DF，AC＝DE，BC＝FE，∴△ABC≌△DFE(SSS).··········4分(2)由(1)知△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE.···········5分∴AB∥DF.··············6分又AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形.········7分