中考数学考点讲解：矩形

第21讲特殊的平行四边形第1课时矩形知识点1矩形的定义及性质1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD第1题图第2题图2．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC等于(C)A．8B．10C．12D．183．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO.又∵AB＝AO，∴AB＝AO＝BO.∴△ABO为等边三角形．∴∠ABD＝60°.知识点2矩形的判定4．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵OA＝OB，∴OA＝OB＝OD＝OC.∴BD＝AC.∴四边形ABCD是矩形．重难点矩形的性质与判定如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．【思路点拨】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；(2)利用勾股定理逆定理证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【自主解答】(1)证明：∵CF＝BE，∴CF＋EC＝BE＋EC，即EF＝BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD＝BC.∴AD∥EF且AD＝EF.∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.∴四边形AEFD是矩形．(2)∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，∴AF＝DE＝8.∵AB＝6，BF＝10，∴AB2＋AF2＝62＋82＝100＝BF2.∴∠BAF＝90°.∵AE⊥BF，∴S△ABF＝12AB·AF＝12BF·AE.∴AE＝AB·AFBF＝6×810＝245.【变式训练】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝2，求△OEC的面积．解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．(2)作OF⊥BC于F.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD.∴AO＝BO＝CO＝DO.∴BF＝FC.∴OF为△BCD的中位线．∴OF＝12CD＝1.∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°.∴EC＝CD＝2，∴S△OEC＝12EC·OF＝1.,方法指导1．判定矩形的基本思路：(1)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；(2)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．Ｋ2．应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系.1．(2017·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝(B)A．5B．4C．3.5D．3第1题图第2题图2．(2017·山西)如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(A)A．20°B．30°C．35°D．55°3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且BE平分∠AEC，则△ABE的面积为(D)A．2.4B．2C．1.8D．1.5第3题图第4题图4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝2.5cm.5．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理对角线相等的平行四边形是矩形．6．(2016·黑龙江)如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：EB＝DC等，使四边形DBCE是矩形．7．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是△ADC，△BDC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD＝BD.∵DE，DF分别是△ADC，△BDC的角平分线，∴DE⊥AC，DF⊥BC.∴∠DEC＝∠ACB＝∠CFD＝90°.∴四边形DECF是矩形．8．(2017·荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，AD＝EC，∠ADC＝∠ECD，CD＝DC，∴△ACD≌△EDC(SAS)．(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形．9．(2017·日照)如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需添加一个条件，即AD＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．证明：(1)在△DCA和△EAC中，DC＝EA，AD＝CE，AC＝CA，∴△DCA≌△EAC(SSS)．(2)∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.∵△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°.∴四边形ABCD为矩形．10．如图，矩形ACBE中，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有(B)A．3个B．4个C．5个D．6个提示：如图，作MG⊥BC于G，MH⊥AC于H，延长HM交BE于F.由题意可知，MG＞6，HM＜AM，FM＜AM，MC＞AM，BM＞AM，ME＞AM，由此可知，以M为圆心AM为半径的圆与矩形的边有5个交点，除了点A，其余的4个点，与点A，M组成的三角形是等腰三角形．11．如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是矩形．第11题图第12题图12．(2017·徐州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝17．13．(2017·江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为(7，3)、(15，1)或(23，－2)．提示：∵A′到矩形较长两边比为1∶3，∴A′可落在直线y＝3，直线y＝1，直线y＝－2上且OA′＝4，由勾股定理算得A′的坐标为(7，3)，(15，1)，(23，－2)．14．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.(1)若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．解：(1)证明：∵∠BPQ＝∠BPC＋∠CPQ＝∠A＋∠AQP，又∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A.∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°.在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，CQ＝CQ，CD＝CP，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)．∴DQ＝PQ.设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6－x.在Rt△APQ中，AQ2＋AP2＝PQ2，∴x2＋22＝(6－x)2，解得x＝83.∴AQ的长是83.