中考数学考点讲解：全等三角形

第17讲全等三角形知识点1全等三角形的概念及性质1．如图，把△ABC沿直线AB翻折至△ABD，那么△ABC≌△ABD．若CB＝5，则DB＝5；若△ABC的面积为10，则△ABD的面积为10．第1题图第2题图2．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中AB＝2，BC＝4，则A′C′的取值范围是2A′C′6．知识点2全等三角形的判定3．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(A)A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠DD．BC＝AD第3题图第4题图4．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是AC＝AD或BC＝BD．5．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，则BE的长为0.8cm.7．如图，AB＝DE，AC＝DF，点E，C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．8．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．求证：AD∥BC.证明：∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO＝BO，CO＝DO.在△AOD和△BOC中，AO＝BO，∠AOD＝∠BOC，DO＝CO，∴△AOD≌△BOC(SAS)．∴∠A＝∠B.∴AD∥BC.重难点全等三角形的性质与判定(2017·泸州改编)如图，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF.(1)求证：AB＝DE.【思路分析】根据AF＝DC推导AC＝DF，根据BC∥EF推导∠ACB＝∠DFE，根据ASA判断△ABC≌△DEF即可得出结论．【自主解答】证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE.∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB＝DE.【拓展提问】(2)如图，连接BF，CE，求证：BF＝CE.证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE.又∵∠A＝∠D，AF＝DC，∴△BAF≌△EDC(SAS)．∴BF＝EC.【变式训练】(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM.在△BAD和△NAM中，AB＝AN，∠BAD＝∠NAM，AD＝AM，∴△BAD≌△NAM(SAS)．∴∠B＝∠ANM.,方法指导1.三角形全等的证明思路：已知两边找夹角→SAS找直角→HL或SAS找另一边→SSS已知一边和一角边为角的对边→找任一角→AAS边为角的邻边找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA找任一角的对边→AAS2．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．3．证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等，当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形，它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解．4．探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相等，进而利用平行线的判定和直角的定义来判断线段的位置关系．1．(2016·厦门)如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝(A)A．∠BB．∠AC．∠EMFD．∠AFB第1题图第2题图2．(2016·永州)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD3．如图，用尺规作∠AOB的平分线的方法如下：以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于C，D两点，再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是(D)A．SASB．ASAC．AASD．SSS第3题图第4题图4．(2016·怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B)A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD5．如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是(A)A．60°B．55°C．45°D．不能确定第5题图第6题图6．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．7．(2016·济宁)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD和CE交于H，请你添加一个适当条件AH＝BC或AE＝CE或EH＝EB，使△AEH≌△CEB.8．(2017·广州)如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.求证：△ADF≌△BCE.证明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.在△ADF和△BCE中，AD＝BC，∠A＝∠B，AF＝BE，∴△ADF≌△BCE.9．(2017·温州)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．解：(1)证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，即∠BCA＝∠EDA.在△ABC和△AED中，BC＝ED，∠BCA＝∠EDA，AC＝AD，∴△ABC≌△AED(SAS)．(2)∵△ABC≌△AED，∴∠B＝∠E＝140°.五边形内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE＝540°－2×140°－2×90°＝80°.10．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)A．44°B．66°C．88°D．92°第10题图第11题图11．(易错易混)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，4)，点C在x轴上运动(不与点A重合)，点D在y轴上运动(不与点B重合)，当以点C，O，D为顶点的三角形与△AOB全等时，点C的坐标为(－4，0)，(－2，0)或(4，0)．12．(2017·益阳T17，8分)如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E.求证：BC＝CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.········2分∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF.又∵F是CD的中点，即DF＝CF，······4分∴△ADF≌△ECF.······6分∴AD＝CE.∴BC＝CE.·············8分