中学数学-做题方法-如何作辅助线

(1)(2)(3)(4)(5)(6)数学专题——如何做辅助线总指导：1.解几何题时，如果缺少某些已知条件，无法直接证明或求得结果，就常常需要作辅助线，先证明或求得这些条件。2.作辅助线时，常运用逆向思维，看得到所需证明或其它结果，除已知条件外，还缺什么条件，作什么样的辅助线，通过什么定理或等量代换可以求得所缺条件。3.一般说，作辅助线的直接目的有：①构成直角三角形，利用“勾股定理”、“两锐角互余”等性质或定理；②构成全等三角形，利用“对应角相等，对应边相等”性质；③构成相似三角形，利用“对应角相等，对应边成比例”性质；④构成等腰三角形，利用“两腰相等，两底角相等”、“三线合一”等性质；⑤作中位线、弦垂线、中线、平行线、直(半)径等，利用有关性质或定理；⑥利用对称、旋转、相等、相似等原理，把有关元素关联起来，进行等量代换。一、在解决梯形问题中：1.“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；有时从一腰的中点作另一腰的平行线；2.“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；3.“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；4.“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；5.“等积变形”：连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）；6.“作中位线”：连接两腰中点(图6)。二、在其它问题中：1.给出中点或中线：可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题；2.给出角平分线：可向角的两边作垂线；3.给出线段垂直平分线：可向线段两端作连接线；4.在比例线段证明中：常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来；5.求证一线段为另一线段的2倍或一半：可延长短线段一倍或将长线段平分为两段；6.等腰三角形：常作底边中线，想“三线合一”；27.直角三角形：作斜边上的中线，注意它等于斜边的一半；8.求证线段相等：可考虑构成全等三角形；9.求证线段成比例：可考虑构成相似三角形。10.求证命题与题设条件无直接关联时：要考虑作把求证命题与有关题设条件关联起来的辅助线。三、例题讲解例1.如图，点C在点A南偏东60°处，点C在点B南偏东30°处，AB=100里，求AC、BC长.ABC例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=21AB.例3.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2,求证:△ABC是直角三角形.BAC例4.如图，已知：AD=AE，DF=EF；求证：△ADC≌△AEB.ABDEFC例5.如图，在ABC中，5ABAC，6BC，设BP=x，求矩形PQED面积y与x的函数解析式.BDEACxPQ例6.如图，在△ABC中，∠A=90°，P为AC边的中点，PD⊥BC，求证：BD²－CD²=AB².3ABCPD例7.如图，AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°,AB=200m，CD=100m,求AD、BC的长.例8.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，:1:5AGGC，求DFFA的值.ABCDEFG例9.如图，在梯形ABCD中，CD//AB，∠A=40°，∠B=70，求证：AD=AB—DC．例10.如图，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．．例11.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB.ACBDADQBEPNMC4例12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求证：AE、BE分别是∠BAD和∠ABC的角平分线.DACBE例13.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，求证：四边形AECF是平行四边形.FEDCBA