黑龙江省大兴安岭市漠河县一中2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数

12．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义一、三维目标知识与技能：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件。过程与方法：通过数量积的学习，使学生掌握向量的数量积及其运算，及数形结合的思想。情感态度与价值观：培养学生应用意识。二、学习重、难点：重点：平面向量的数量积定义。难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。三、学法指导：本节学习的关键是理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的重要性质；平面向量数量积的运算律。四、知识链接：力做的功：W=|Fs，是F与s的夹角。两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OAa＝，OBb，则(0)AOB叫a与b的夹角。（1）当0时，a与b同向；（2）当时，a与b反向；（3）当2时，a与b垂直，记ab；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围五、学习过程：2问题1.平面向量数量积（内积）的定义：并规定0与任何向量的数量积为0。说明：两个向量的数量积与向量同实数积区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；书写时要严格区分符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。（3）在实数中，若0a，且0ab，则0b；但是在数量积中若0a，且0ab，不能推出0b因为其中有可能为0。问题2.“投影”问题3.向量的数量积的几何意义：问题4.由向量数量积的定义，能得到哪些结论：设a、b为两个非零向量，则A例1.已知5a,4b，a与b的夹角120，求ab.A问题5.平面向量数量积的运算律:3说明：（1）一般地，()()abcabc（2）,0acbccabA例2证明：222()2abaabb222()2abaabb有如下常用性质：22aa.B例3已知6a,4b，a与b的夹角为60求(2)(3)abab.B例4已知3a,4b，且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直。六、达标检测：B1.已知1a，2b，且()ab与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.454B2已知2a，5b，3ab，则ab______，ab。B3.已知向量a、b的夹角为3，2a，1b，则abab。B4.已知28abij，816abija-b=-8i+16j，其中ij、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab=。B5.已知1a，2b，(1)若a∥b，求ab；(2)若a、b的夹角为60，求ab.B6.设3a，5b，且ab与ab垂直，则＝。七、学习小结：1平面向量的数量积及其几何意义。2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。3.平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题。八、课后反思：52．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义例1a·b=-10例2证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２(ａ—ｂ)（a+b）＝ａ２—ｂ２(ａ＋ｂ)２＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)=ａ·ａ+ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２(ａ—ｂ)（a+b）=ａ·ａ-ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２—ｂ２例3(a+2b)·(a-3b)=-72例4解：向量a+kb与a-kb互相垂直的条件是：（a+kb）·（a-kb）=0即ａ２—k２ｂ２=0∵ａ２=9ｂ２=16∴9-16k２=±43【达标检测】1D2|a+b|=__23____，|a-b|=35.3.|a+b|·|a-b|=21.4.a·b=-63.5(1)±2(2)237.λ＝±53.