黑龙江省大兴安岭市漠河县一中2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何的

12.5.1平面几何的向量方法一、三维目标：知识与技能：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题．了解向量是一种处理几何问的工具。过程与方法：通过具体例子，体会利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题的方法的步骤。情感态度与价值观：培养学生自主学习，合作探究，勇于创新，多方位审视问题的方法和技巧。二、学习重、难点：重点：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题。难点：建立平面几何与向量的联系，灵活利用向量的线性运算及数量积运算求解。三、学法指导：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接化为向量，对这些向量借助它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果。四、知识链接：1向量求和的法则：①三角形法则②平行四边形法则2向量减法的法则：3向量共线定理：五、学习过程：问题1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长,DBABADACABAD2ABCOABCD度之间的关系吗？例1、证明:平行四边形四边平方和等于两对角线平方和。规律总结：(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽然任意两个不共线的向量都可以作基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂．(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法．练习：用向量法证明直径所对的圆周角是直角如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°问题2.你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；3FABCDERT（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。简述：形到向量------向量的运算------向量和数到形例2.如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？六、达标检测：1.平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．2.以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，M为BC的中点，求证：AM⊥EF。43.如右图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝1/3BD，求证：M、N、C三点共线．七、学习小结：八、课后反思：52.5.1平面几何的向量方法的答案例1、已知：平行四边形ABCD，求证：222222ABBCCDDAACBD.分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设,ABaADb其它线段对应向量用它们表示。解：设,ABaADb，,,;BCbDAaACabDBab2222222()ABBCCDDAab2222ACBDabab222222222222aabbaabbabab∴222222ABBCCDDAACBD练习：分析：要证∠ACB=90°，只须证向量ACCB，即0ACCB。解：设,AOaOCb则,ACabCBab，由此可得：ACCBabab2222abab220rr即0ACCB，∠ACB=90°。例2、解：设,,,ABaADbARr则ACab由于AR与AC共线，故设(),rnabnR又因为EREB与共线，所以设12()ERmEBmab因为ARAEER所以1122()rbmab1122()()nabbmab因此102()()mnmanb即,ab由于向量不共线，1解得：n=m=3，111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是6故AT=RT=TC。达标检测：1、解：设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b.而|BD→|＝2，即|a－b|＝2，∴(a－b)2＝4，a2－2a·b＋b2＝4.又a2＝1，b2＝4，∴2a·b＝1.又|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝6.2、解：如下图，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝c，AE→＝d.则AM→＝12(a＋b).EF→＝c－d，因为a·c＝0，b·d＝0，|a|＝|c|，|b|＝|d|.∴AM→·EF→＝12(a＋b)·(c－d)＝12(b·c－a·d)．而a·d＝|a||d|cos∠EAB，b·c＝|b||c|cos∠FAC，∠EAB＝∠FAC.∴AM→·EF→＝0，即AM→⊥EF→，AM⊥EF.3、分析：本题主要考查向量的线性运算及用向量法证明多点共线问题，欲证M、N、C三点共线，只需证明MN→∥MC→即可．证明：MN→＝BN→－BM→，∵BM→＝12BA→，BN→＝13BD→＝13(BA→＋BC→)，∴MN→＝13BA→＋13BC→－12BA→＝13BC→－16BA→①，MC→＝BC→－BM→＝BC→－12BA→②，由①、②可知MC→＝3MN→，即MC→∥MN→，又∵MC、MN有公共点M，∴M、N、C三点共线．