2019-2020学年新教材高中数学 第五课 考点突破素养提升 新人教A版必修第一册

1第五课考点突破·素养提升素养一数学运算角度1任意角、弧度制与三角函数的定义【典例1】(1)已知α∈(π,2π)且5α与α终边相同,则α=()A.πB.πC.πD.π(2)α是第四象限角,P(,x)为其终边上一点,且sinα=x,则cosα的值为()A.B.C.D.-【解析】(1)选C.因为5α与α终边相同,所以5α=α+k·2π,k∈Z,所以4α=k·2π,k∈Z,α=k·,k∈Z.(2)选A.由定义可得sinα==x,x0,解得x=-,所以cosα==.【类题·通】1.终边相同角的问题(1)灵活应用角度制或弧度制表示角.(2)注意同一表达式中角度与弧度不能混用.2.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.(2)在α的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r0),则sinα=,2cosα=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.【加练·固】1.在-360°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是()A.330°B.210°C.-150°D.30°【解析】选B、C.因为-510°=-360°×2+210°,-510°=-360°-150°,因此与-510°终边相同的角是210°,-150°.2.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.(2)若扇形的周长是30,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,因为α=60°=,R=10(cm),所以l=αR=(cm).S弓=S扇-S△=××10-2××10×sin×10×cos=50(cm2).(2)因为l+2R=30,所以l=30-2R,从而S=·l·R=(30-2R)·R=-R2+15R=-+,所以当半径R=cm时,l=30-2×=15(cm),扇形面积的最大值是cm2,这时α==2(rad).所以当扇形的圆心角为2rad,半径为cm时,面积最大,为cm2.角度2同角三角函数的基本关系与诱导公式【典例2】(1)已知sinα=,≤α≤π则tanα=________.3(2)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,则sin(α+π)=________.【解析】(1)由sinα=,且sin2α+cos2α=1得cosα=±,因为≤α≤π,可得cosα=-,所以tanα==-2.答案:-2(2)由角α的终边过点P,得sinα=-,所以sin(α+π)=-sinα=.答案:【类题·通】1.已知某角的弦函数值求其他三角函数值时,先利用平方关系求另一弦函数值,再求切函数值,需要注意的是利用平方关系时,若没有角度的限制,要注意分类讨论.2.已知角终边上的点求角的三角函数值时,先根据条件求出定点到原点的距离,再根据三角函数的定义求三角函数值;利用诱导公式化简三角函数时,关键注意两点:函数名和函数的符号.【加练·固】1.化简得()A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.±cos2-sin2【解析】选C.==,4因为2π,所以sin2-cos20,所以原式=sin2-cos2.2.已知=-1,求下列各式的值:(1).(2)sin2α+sinαcosα+2.【解析】由=-1,得tanα=.(1)===-.(2)sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2(cos2α+sin2α)====.素养二逻辑推理角度1任意角、弧度制与三角函数的定义【典例3】(1)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧、弧、弧的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是________,曲线CDEF围成图形的面积是________.(2)若-α0,则点P(tanα,cosα)位于()5A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(1)因为∠DAC=∠DBE=∠ECF=120°=,所以弧的长是×1=,S扇形ACD=××1=,弧的长是×2=,S扇形BDE=××2=,弧的长是×3=2π,S扇形CEF=×2π×3=3π,则曲线CDEF的长是++2π=4π;面积为:++3π=π.答案:4ππ(2)选B.因为-α0,所以tanα0,cosα0,所以点P(tanα,cosα)位于第二象限.【类题·通】1.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.2.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.【加练·固】1.如果点P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限,则角θ位于第________象限.【解析】因为点P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限,所以sinθ·cosθ0,2cosθ0,即所以角θ在第二象限.答案:二62.已知☉O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长,则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________.【解析】设☉O的半径为r,其内接正三角形为△ABC.如图所示,D为AB边中点,AO=r,∠OAD=30°,AD=r·cos30°=r,所以边长AB=2AD=r,所以的弧长l=AB=r.又因为α是负角,所以α=-=-=-.答案:-角度2同角三角函数的基本关系与诱导公式【典例4】(1)化简+,θ∈.(2)求证:=-tanα.【解析】(1)因为θ∈,所以原式=+=+7=+==.(2)左边=====-=-tanα=右边,即原等式成立.【类题·通】利用同角三角函数化简时的注意点(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此sin2α+cos2β≠1,tanα≠.(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.【加练·固】1.求证:(1)=1.(2)=.【证明】(1)左边===1=右边.所以原等式成立.8(2)方法一:因为右边======左边,所以原等式成立.方法二:因为左边==,右边=====,所以左边=右边,原等式成立.2.已知=2.(1)求tanα.(2)求cos·cos(-π+α)的值.【解析】(1)由=2,得=2,解得tanα=3.(2)cos·cos(-π+α)=sinα·(-cosα)====-.9