2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价九 平面向量数量积的坐标表示 新人教A版必修2

-1-课时素养评价九平面向量数量积的坐标表示(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(多选题)设向量a=(1，0)，b=，则下列结论中错误的是()A.|a|=|b|B.a·b=C.a∥bD.a-b与b垂直【解析】选A、B、C.因为|a|=1，|b|=，所以|a|≠|b|.又a·b=1×+0×=≠；易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确.因为a-b=，且(a-b)·b=×+×=0，所以(a-b)⊥b.2.已知向量a=(0，-2)，b=(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A.B.3C.-D.-3【解析】选D.向量a在b方向上的投影为==-3.3.(2019·邢台高一检测)已知a=(2，-3)，b=(1，-2)，且c⊥a，b·c=1，则c的坐标为()A.(3，-2)B.(3，2)C.(-3，-2)D.(-3，2)-2-【解析】选C.采用验证的方法知，c=(-3，-2)满足c·a=-6+6=0，所以c⊥a，b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.4.已知a=(1，2)，b=(x，4)且a·b=10，则|a-b|=()A.-10B.10C.-D.【解析】选D.因为a·b=10，所以x+8=10，x=2，所以a-b=(-1，-2)，故|a-b|=.二、填空题(每小题4分，共8分)5.设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(-1，-1)，则|b|=________，cosθ=________.【解析】b=a+(-1，-1)=(1，1)，则a·b=6.又|a|=3，|b|=，所以cosθ===1.答案：16.已知a，b是同一平面内的两个向量，其中a=(1，2).若|b|=2，且b∥a，则b的坐标为________.【解析】设b=(x，y)，因为|b|=2，所以=2，所以x2+y2=20.由b∥a和|b|=2，可得解得或故b=(2，4)或b=(-2，-4).-3-答案：(2，4)或(-2，-4)【加练·固】已知=(-3，1)，=(0，5)，且∥，⊥(O为坐标原点)，则点C的坐标是________.【解析】设C(x，y)，则=(x，y).又=(-3，1)，所以=-=(x+3，y-1)，因为∥，所以5(x+3)-0·(y-1)=0，所以x=-3.因为=(0，5)，所以=-=(x，y-5)，=-=(3，4).因为⊥，所以3x+4(y-5)=0，所以y=，所以C点的坐标是.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)已知向量a，b同向，b=(1，2)，a·b=20.(1)求向量a的坐标.(2)若c=(2，1)，求(b·c)·a.【解析】(1)因为向量a，b同向，又b=(1，2)，所以设a=λb=λ(1，2)=(λ，2λ)，λ0.由a·b=20得1×λ+2×2λ=20，所以λ=4，所以a=(4，8).(2)因为b·c=(1，2)·(2，1)=1×2+2×1=4，所以(b·c)·a=4(4，8)=(16，32).8.(14分)已知a=(1，2)，b=(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角.(2)a与b的夹角为钝角.(3)a与b的夹角为锐角.【解析】设a与b的夹角为θ，则a·b=(1，2)·(1，λ)=1+2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ=0，-4-所以a·b=0，所以1+2λ=0，所以λ=-.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ0且cosθ≠-1，所以a·b0且a与b不反向共线.由a·b0得1+2λ0，故λ-，由a与b共线得λ=2，故a与b不可能反向共线，所以λ的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ0，且cosθ≠1，所以a·b0且a，b不同向共线.由a·b0，得λ-，由a与b共线得λ=2，所以λ的取值范围为∪(2，+∞).(15分钟·30分)1.(4分)在平面直角坐标系xOy中，=(2，1)，=(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k的可能值的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由-==(-1，1-k)，若·=0，所以k=-6；若·=0，所以k=-1，若·=0，所以k2-k+3=0，由Δ0知无解.2.(4分)已知O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中a∈(0，+∞)，点P在AB上且=t(0≤t≤1)，则·的最大值为()A.aB.2aC.3aD.a2【解析】选D.因为A(a，0)，B(0，a)，-5-所以=(a，0)，=(-a，a).又因为=t，所以=+=(a，0)+t(-a，a)=(a-ta，ta)，所以·=a(a-ta)=a2(1-t).因为0≤t≤1，所以0≤1-t≤1，即·的最大值为a2.3.(4分)已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E满足=，点F为CD的中点，若·=-2，则·=________.【解析】如图，建立平面直角坐标系，设C(t，0)，A(-t，0)，B(0，-1)，D(0，1)，E，F，=(t，1)，=，=(-t，1)，=，因为·=-2，所以-t2+=-2，解得t2=5，·=-t2+=-7.答案：-7-6-4.(4分)若向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角，所以(2a-3b)·c0，即(2k-3，-6)·(2，1)0，所以4k-6-60，所以k3.又若(2a-3b)∥c，则2k-3=-12，即k=-.当k=-时，2a-3b=(-12，-6)=-6c，即2a-3b与c反向.综上，k的取值范围为∪.答案：∪【加练·固】已知向量a=(-2，-1)，b=(t，-2)，且a与b的夹角为锐角θ，则实数t的取值范围为________.【解析】因为a与b的夹角为锐角θ，所以cosθ=0，即：a·b=(-2，-1)·(t，-2)=-2t+20，所以t1.若a∥b，可设：a=λb，所以(-2，-1)=λ(t，-2)，所以所以此时b=2a，所成角为0°，故t=-4不合题意.所以t的取值范围是(-∞，-4)∪(-4，1).答案：(-∞，-4)∪(-4，1)5.(14分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=，n=(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值.-7-(2)若m与n的夹角为，求x的值.【解析】(1)因为m=，n=(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n=0，即sinx-cosx=0，所以sinx=cosx，所以tanx=1.(2)因为|m|=|n|=1，所以m·n=cos=，即sinx-cosx=，所以sin=，因为0x，所以-x-，所以x-=，即x=.1.(2019·怀化模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值是________.【解析】设D(x，y)，由=(x-3，y)及||=1知=1，即动点D到点(3，0)的距离为1.又++=(-1，0)+(0，)+(x，y)=(x-1，y+)，所以|++|=.-8-问题转化为点D与点P(1，-)间距离的最大值.点D在以点(3，0)为圆心，半径为1的圆上.因为圆心C(3，0)与点P(1，-)之间的距离为=，故的最大值为+1.答案：+12.设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b=(a1b1，a2b2)，已知向量m=，n=，点P(x，y)在y=sinx的图象上运动，Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点)，求函数y=f(x)的值域.【解析】设Q(c，d)，由新的运算可得：=m⊗+n=+=，由消去x得d=sin，所以y=f(x)=sin，故y=f(x)的值域是.