2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价十三 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题 新人

-1-课时素养评价十三余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·诸暨高一检测)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m【解析】选A.由题意知，在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，所以∠CBA=180°-45°-105°=30°，所以由正弦定理可得，AB===50(m).2.(2019·苏州高一检测)某人从A处出发，沿北偏东60°行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地距离为()A.4kmB.6kmC.7kmD.9km【解析】选C.如图所示，由题意可知AB=3，BC=2，∠ABC=150°，-2-由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos150°=49，所以AC=7，所以A，C两地距离为7km.3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2+402-2×20t×40cos45°=302.化简得：4t2-8t+7=0，所以t1+t2=2，t1t2=.从而|t1-t2|==1.4.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离是()A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中由正弦定理得BD==.在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°-3-=3++2×××=5+2.所以AB=≈2.9(km).答：炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.二、填空题(每小题4分，共8分)5.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示，没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号).【解析】如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB=75°，∠ABO=45°，所以∠OAB=60°.由正弦定理知，==，所以OA=米，AB=米，所以OA+AB=米.答案：(5+5)6.(2019·宁德高二检测)一艘船以每小时20km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶2h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_______km.-4-【解析】由题意知，△ABC中，AC=20×2=40，∠BAC=30°，∠B=180°-30°-(90°+15°)=45°，由正弦定理得，BC===20(km)，所以船与灯塔的距离为20km.答案：20三、解答题(共26分)7.(12分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12nmile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8nmile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离.(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意，画出示意图，如图所示.(1)在△ABD中，由已知∠ADB=60°，∠DAB=75°，则B=45°.-5-由正弦定理，得AD==24(nmile).答：A处与D处之间距离为24nmile.(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2AD×ACcos30°=242+(8)2-2×24×8×=(8)2，所以CD=8(nmile).答：灯塔C与D处之间的距离为8nmile.【加练·固】如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB=6m，∠ABD=60°，∠DBC=90°，∠DAB=75°.试求C，D间的距离.【解析】∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+90°=150°，所以∠C=180°-150°=30°，∠ADB=180°-75°-60°=45°.△ABD中，由正弦定理得AD==3.由余弦定理得BD==3+3.在Rt△BDC中，CD==6+6，即CD的长为(6+6)m.8.(14分)(2019·眉山高一检测)如图，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.-6-【解析】在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，由正弦定理得BP===20，在△BPC中，BC=30×=40，由已知∠PBC=90°，所以PC===20(海里).答：P，C间的距离为20海里.(15分钟·30分)1.(4分)如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m，吊杆AC=15m，吊索AB=5m，起吊的货物与岸的距离AD为()A.30mB.mC.15mD.45m-7-【解析】选B.在△ABC中，AC=15m，AB=5m，BC=10m，由余弦定理得cos∠ACB===-，所以sin∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°，所以sin∠ACD=sin∠ACB=.在Rt△ACD中，AD=ACsin∠ACD=15×=(m).2.(4分)甲船在岛B的正南A处，AB=10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A.minB.hC.21.5minD.2.15h【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图.则BC=10-4t，BD=6t，∠CBD=120°，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100，所以当t=时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以此时它们的航行时间是min.3.(4分)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________.-8-【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以∠D+∠B=π.在△ABC和△ADC中由余弦定理可得82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cosD，整理得cosD=-，代入得AC2=32+52-2×3×5×=49，故AC=7.答案：74.(4分)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则两景点B与C的距离为________(精确到0.1km).参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236.【解析】在△ABD中，设BD=xkm，则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA，即142=x2+102-2·10x·cos60°，整理得，x2-10x-96=0，解得，x1=16，x2=-6(舍去)，故BD=16km，又因为∠BDA=60°，AD⊥CD，所以∠CDB=30°.由正弦定理，得：=，-9-所以BC=·sin30°=8≈11.3(km).所以两景点B与C的距离约为11.3km.答案：11.3km5.(14分)(2019·怀化高二检测)轮船A从某港口C将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口C北偏西30°且与C相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以v海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇，若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度应为多少？【解析】设相遇时轮船A航行的距离为S海里，则S===.所以当t=时，Smin=10，v==30.答：轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时轮船A航距最短.1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度v为()A.8km/hB.6km/hC.2km/hD.10km/h-10-【解析】选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ==，从而cosθ=，所以由余弦定理得=+12-2××2×1×，解得v=6(km/h).2.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上.一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？【解析】设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.在△OBC中由题意易得∠BOC=30°，∠CBO=60°，所以∠OCB=90°，因为BO=120，所以BC=60，OC=60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x1.在△OCD中，由题意易得∠COD=30°，OD=20x，CD=60(x-2).-11-由余弦定理，得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD，所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-2×20x×60×cos30°.解得x=3或x=，因为x1，所以x=3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.【加练·固】如图所示，海中小岛A周围38nmile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30nmile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【解题指南】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38nmile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38nmile比较大小即可.【解析】在△ABC中，BC=30，B=30°，∠ACB=135°，所以∠BAC=15°，由正弦定理，得=，即=，所以AC=60cos15°=60cos(45°-30°)=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15(+)，所以A到BC的距离为d=ACsin45°=15(+1)，≈40.98nmile38nmile，所以继续向南航行，没有触礁危险.-12-