2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价十四 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题

-1-课时素养评价十四余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·绍兴高一检测)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A.240mB.180mC.120mD.30m【解析】选C.如图，在△ACD中，∠CAD=90°-30°=60°，AD=60m，所以CD=AD·tan60°=60(m).在△ABD中，∠BAD=90°-75°=15°，所以BD=AD·tan15°=60(2-)(m).所以BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).-2-2.一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的()A.北偏东75°B.南偏东15°C.北偏东75°或南偏东15°D.以上方位都不对【解析】选C.根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB=32×=16海里，BS=8海里，∠A=30°.在△ABS中，由正弦定理得=，sinS===，所以S=45°或135°，所以B=105°或15°，即灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°.3.一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为()-3-A.北偏东80°，20(+)B.北偏东65°，20(+)C.北偏东65°，20(+)D.北偏东80°，20(+)【解析】选C.由题可知∠ABC=105°，在△ABC中，AB=40海里，BC=40海里，所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40cos(60°+45°)=3200+1600，所以AC=20(+)海里.=⇒sin∠BAC==，所以∠BAC=45°，所以下次航行直接从A出发到C，航向为北偏东65°，路程为20(+)海里.【加练·固】有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A.5mB.10mC.10mD.10m【解析】选C.如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，-4-在△ABB′中，∠B′=30°，∠BAB′=75°-30°=45°，AB=10m.由正弦定理，得BB′===10(m).所以坡底要延伸10m时，斜坡的倾斜角将变为30°.4.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C，D两地相距500m，则电视塔AB的高度是()A.100mB.400mC.200mD.500m【解析】选D.设AB=xm，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，所以BC=AB=xm；在Rt△ABD中，∠ADB=30°，所以BD=xm.在△BCD中，∠BCD=120°，CD=500m，由余弦定理得(x)2=x2+5002-2×500xcos120°，解得x=500.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2019·宜昌高一检测)如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为________米.-5-【解析】在△ADC中，∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理，得AC=，所以AB=ACsin60°==10(米).答案：106.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x=________cm.【解析】如图所示，在△ABC中，AB=xcm，BC=10cm，∠ABC=180°-105°=75°，∠BCA=180°-135°=45°，所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.由正弦定理得：=，所以x=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)(2019·眉山高一检测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100m，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.-6-(1)求A、C两地的距离.(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解析】(1)由题意，设AC=xm，则BC=x-×340=(x-40)m.在△ABC中，由余弦定理，得BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC，即(x-40)2=10000+x2-100x，解得x=420.所以A，C两地间的距离为420m.(2)在Rt△ACH中，AC=420m，∠CAH=30°，所以CH=ACtan∠CAH=140m.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140m.8.(14分)(2019·宜昌高一检测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度.(2)求sinα的值.【解析】(1)依题意，∠BAC=120°，AB=12海里，AC=10×2=20(海里)，∠BCA=α，-7-在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784解得BC=28海里，所以渔船甲的速度为=14海里/小时.(2)在△ABC中，因为∠BAC=120°，AB=12海里，BC=28海里，∠BCA=α，由正弦定理，得=，即sinα===.所以sinα的值为.(15分钟·30分)1.(4分)在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A.200mB.300mC.400mD.100m【解析】选B.如图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，BD=ED=600m，BC=DC=200m.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ==，所以2θ=30°，4θ=60°.在Rt△ABC中，AB=BC·sin4θ=200×=300(m).2.(4分)(2019·兰州高二检测)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相-8-距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()A.B.C.D.【解析】选B.在△ABC中，AB=40海里，AC=20海里，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800，所以BC=20海里.由正弦定理得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，cos∠ACB=.cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.3.(4分)如图，要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)，可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量.已知AB=20米，且测出∠CAD=，∠ACB=，则灯塔CD的高度为________.-9-【解析】在Rt△ABC中，AC==20(米).在△ACD中，由正弦定理可知=，从而CD=.又∠ADC=π-∠CAD-∠ACD=π--=，sin∠ADC=sin=sin=，所以CD==20(3-)(米).答案：20(3-)米4.(4分)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=________m.【解析】根据题意知，AC=100m.在△MAC中，∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得=⇒AM=100m.在△AMN中，=sin60°，所以MN=100×=150(m).答案：1505.(14分)(2019·大庆高一检测)如图所示，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B，D间的距离为21海里.-10-(1)求sin∠BDC的值.(2)试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A？【解析】(1)由已知，CD=40×=20海里.在△BCD中，据余弦定理的推论，有cos∠BDC==-，所以sin∠BDC==.(2)由已知可得，∠BAD=20°+40°=60°，所以sin∠ABD=sin(∠BDC-60°)=×-×=.在△ABD中，根据正弦定理，有=，则AD===15(海里).所以t=×60=22.5(分钟).答：这艘游轮再向前航行22.5分钟方可到达城市A.1.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60m，则建筑物的高度为()-11-A.15mB.20mC.25mD.30m【解析】选D.设建筑物的高度为hm，由题图知，PA=2hm，PB=hm，PC=2hm，所以在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理的推论，得cos∠PBA=，①cos∠PBC=.②因为∠PBA+∠PBC=180°.所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③，解得h=30或h=-30(舍去)，即建筑物的高度为30m.2.如图，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B，D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.-12-【解析】设∠ABD=α，在△ABD中，AD=30，BD=42，∠BAD=60°.由正弦定理得=，sinα=sin∠BAD=sin60°=，又因为ADBD，所以0°α60°，cosα==，cos∠BDC=cos(60°+α)=-.在△BDC中，由余弦定理得BC2=DC2+BD2-2DC·BDcos∠BDC=402+422-2×40×42cos(60°+α)=3844，BC=62km，即渔政船乙要航行62km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.