2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价五十三 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）新人

1课时素养评价五十三两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知cosα=-,则tan=()A.-B.-7-7C.D.7【解析】选C、D.因为cosα=-,所以sinα=±=±,所以tanα=±.当tanα=时,tan==;当tanα=-时,tan==7.2.（2019·全国卷Ⅰ）tan255°=()A.-2-B.-2+C.2-D.2+【解析】选D.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于()2A.B.C.πD.【解析】选C.因为tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-1,所以2α=-+kπ(k∈Z),所以α=-+(k∈Z).又因为α为锐角,所以α=-=.4.已知sinα=2cosα,则tan=()A.-3B.3C.-2D.2【解析】选A.由sinα=2cosα,得tanα=2,所以tan===-3.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知tanα=2,tanβ=-3,其中0°α90°,90°β180°,则=______,α-β=______.【解析】==-7.因为tan(α-β)==-1,又0°α90°,90°β180°,所以-180°α-β0°,所以α-β=-45°.答案:-7-45°6.若tan=,则tanα=________.3【解析】方法一:tanα=tan===.方法二:因为tan===,所以tanα=.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)已知α,β∈,且tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,求α+β.【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,所以tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,所以tan(α+β)===.因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数.又α,β∈,所以α,β∈,所以α+β∈(-π,0),故α+β=-.8.(14分)已知A,B,C是△ABC的三内角,sinA=1+cosA.(1)求角A.(2)若tan=-3,求tanC.【解析】(1)因为sinA=1+cosA,4即sinA-cosA=1,2sin=1.所以sin=.因为0Aπ,所以-A-,所以A-=,即A=.(2)由tan==-3,解得tanB=2.又A=,所以tanA=.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=.【加练·固】已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-,所以tanα=-,因为tan(α+β)====5==,所以tan(α+β)==.(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=,所以tanβ==.(15分钟·30分)1.(4分)(1+tan17°)(1+tan18°)(1+tan27°)(1+tan28°)的值是()A.2B.4C.8D.16【解析】选B.(1+tan17°)(1+tan28°)=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°,①又tan45°=tan(17°+28°)=,所以①式=1+(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2.同理(1+tan18°)(1+tan27°)=2.所以原式=4.2.(4分)tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是()A.2B.C.D.【解析】选C.因为tan60°=tan(20°+40°)=,所以(1-tan20°tan40°)=tan20°+tan40°,所以原式=-tan20°tan40°+6tan20°tan40°=.3.(4分)tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=________.【解析】原式=(tan20°+tan40°)+tan40°tan20°=tan60°(1-tan20°tan40°)+tan40°tan20°=1-tan20°tan40°+tan40°tan20°=1.答案:14.(4分)已知tan=,tan=-,则tan=________.【解析】tan=tan==.答案:5.(14分)在△ABC中,tanB+tanC+tanBtanC=且tanA+tanB+1=tanAtanB,判断△ABC的形状.【解析】由tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)===-,而0°A180°,所以A=120°.由tanC=tan[π-(A+B)]===,而0°C180°,所以C=30°,所以B=30°,所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.71.在△ABC中,角C=60°,且tan+tan=1,则sinsin=________.【解析】因为角C=60°,所以+=60°,所以tan60°==tan,即=,所以=,解得tantan=.即=,①又cos60°=cos=coscos-sinsin=,②由①②得:sinsin=.答案:2.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同时成立.8由(1)得+β=,所以tan==.又tantanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,因此tan,tanβ可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,解得:x1=1,x2=2-.若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾,所以tan=2-,tanβ=1,所以α=,β=,所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.