2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价五十七 函数y=Asin（ωx+φ）（一）新人教A

1课时素养评价五十七函数y=Asin(ωx+φ)(一)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.y=sin2xy=sin=sin(2x-π)=-sin(π-2x)=-sin2x.由于-sin(-2x)=sin2x,所以是奇函数.【加练·固】已知函数f(x)=sin(x∈R,ω0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只需将y=f(x)的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.由T=π=,得ω=2,2g(x)=cos2x=sin,f(x)=sin的图象向左平移个单位,得到y=sin=sin=g(x)的图象.2.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()【解析】选A.变换后的三角函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A选项正确.3.把函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到的图象所对应的函数是()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选C.把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y=sin的图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin的图象.34.(多选题)为得到函数y=cosx的图象,可以把y=sinx的图象向右平移φ个单位长度得到,那么φ的值可以是()A.B.C.D.【解析】选B、D.y=sinx=cos=cos向右平移φ个单位后得到y=cos,所以φ+=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z.所以φ的值可以是,.二、填空题(每小题4分,共8分)5.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=Asinx的图象,则ω=________,φ=______.【解析】y=Asinx的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin的图象,再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y=Asin的图象即为f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=Asin,所以ω=,φ=.答案:6.已知方程2sin+2a-1=0在[0,π]上有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是________.【解析】由2sin+2a-1=0,4得2sin=1-2a,所以原题等价于函数y=2sin的图象与函数y=1-2a的图象在[0,π]上有两个交点,如图,所以≤1-2a2,解得a∈.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的简图.【解析】(1)列表:+0π2πx-f(x)36303(2)描点画图:8.(14分)已知f(x)=2sin.(1)在给定的坐标系内,用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象.5(2)写出f(x)的单调递增区间.(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值.【解析】(1)列表:+0π2πx-f(x)020-20作图:(2)由2kπ-≤+≤2kπ+,得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当+=+2kπ,即x=+4kπ(k∈Z)时,f(x)max=2.(15分钟·30分)1.(4分)要得到函数y=3sin的图象,只需将函数y=3sin2x的图象()A.向左平移个单位6B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选C.由y=3sin2(x+φ)=3sin,得2φ=,φ=.故向左平移个单位.2.(4分)函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是()A.x=-B.x=C.x=-D.x=【解析】选C.令x-=+kπ,k∈Z,x=+kπ,k∈Z,当k=-1时,x=-.所以直线x=-是函数f(x)的图象的一条对称轴.3.(4分)设ω0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是()A.B.C.D.3【解析】选C.y=sin+2y1=sin+2=sin+2.7因为y与y1的图象重合,所以-ω=2kπ(k∈Z).所以ω=-k.又因为ω0,k∈Z,所以k=-1时,ω取最小值为.4.(4分)函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,则φ的最小值为________.【解析】平移后解析式为y=sin(2x-2φ),图象关于x=对称,所以2×-2φ=kπ+(k∈Z),所以φ=-π-(k∈Z),又因为φ0,所以当k=-1时,φ的最小值为.答案:5.(14分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,求φ.【解析】向右平移φ个单位后,得到g(x)=sin(2x-2φ),又|f(x1)-g(x2)|=2,所以不妨令2x1=+2kπ,k∈Z,2x2-2φ=-+2mπ,m∈Z,所以x1-x2=-φ+(k-m)π,k,m∈Z,又|x1-x2|min=,所以-φ=,所以φ=.1.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ1,φ2个单位后,所得的图象都关于y轴对称,则φ1,φ2的最小正值分别为()8A.,B.,C.,D.,【解析】选A.函数f(x)的图象向左平移φ1个单位得到函数g(x)=sin的图象,向右平移φ2个单位得到函数h(x)=sin的图象,于是2φ1+=+kπ,k∈Z,-2φ2+=+kπ,k∈Z,于是φ1,φ2的最小正值分别为,.2.已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω0.(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且ab)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.【解析】(1)因为ω0,根据题意有⇒0ω≤,所以ω的取值范围为.(2)f(x)=2sin2x,g(x)=2sin2+1=2sin+1,g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相离间隔依次为和,9故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.