2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集教学设

12.1.1等式的性质与方程的解集教学设计本节学习等式的性质与方程的解集，是人教B版必修一第二章第一节的内容。学生尽管已经学习过等式的性质的一些内容，包括一元一次方程以及一元二次方程的解法，但我们会继续学习，并体会解方程的基本依据是等式的性质，为后续的学习打好基础。课程目标核心素养（1）掌握等式的性质并会应用；（2）掌握几个重要的恒等式（3）会用十字相乘法进行因式分解；（4）会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.a.数学抽象：理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；b.逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法；c.数学运算：求方程的解集；d.直观想象：十字相乘法分解因式；e.数据分析:例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法教学重点：（1）掌握等式的性质及恒等式；（2）会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.教学难点：会用十字相乘法进行因式分解。一、等式的性质1.复习回顾我们已经学习过等式的性质：（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。2.尝试与发现用符号语言和量词表示上述等式的性质：（1）如果ba，则对任意c，都有cbca；（2）如果ba，则对任意不为零的c，都有bcac.2因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立.二、恒等式1.尝试与发现补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：(1)a2-b2=（平方差公式）；(2)(x+y)2=（两数和的平方公式）；(3)3x-6=0；(4)(a+b)c=ac+bc；(5)m(m-1)=0；(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).2.感受新知（1）从量词的角度来对以上6个等式进行分类：对任意实数都成立的等式有：（1（2）（4）（6）只是存在实数使其成立的等式有：（3）（5）（2）一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。（3）恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2，由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.3.经典例题：例1化简(2x+1)2-(x-1)2.解（方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开,然后合并同类项,即(2x+1)2-(x-1)2=4x2+4x+1-(x2-2x+1)=3x2+6x(方法二)可以将2x+1和x-1分别看成一个整体,然后使用平方差公式，即3(2x+1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x+1)][(2x+1)-(x+1)]=3x(x+2)=3x2+6x4.课堂练习（1）252x（2）962aa（3）)(8)(4xynyxm（4）22216)4(aa反思感悟分解因式的常用方法(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;(3)提取公因式法;（4）十字相乘法4.十字相乘法下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+ab.这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以x2+5x+6=.练习：用十字相乘法分解因式（1）232xx（2）1522xx【尝试与发现】4上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。据此也可进行因式分解。例如，对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如右图所示，所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).三、方程的解集1.思考：（1）一元一次方程)0(0kbkx的根是什么？（2）一元二次方程)0(02acbxax的求根公式是什么？2.新课讲授方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.3.做一做：求方程0232xx的解集。4.想一想：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？5.经典例题：例2求方程x2-5x+6=0的解集.解因为x2-5x+6=0=(x-2)(x-3)，所以原方程可以化为(x-2)(x-3)=0，从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}.例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为(x-x1)(x-x2)=0证明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法.5的形式,那么就能方便得得出原方程的解集了.例3求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.【尝试与发现】解当a≠0时,在等式ax=2的两边同时乘以a1,得x=a2,此时解集为{a2}.当a=0时,方程变为0x=2,这个方程无解,此时解集为∅.综上,当a≠0时,解集为{a2};当a=0时,解集为∅.6.课堂练习教材P46练习A1、3、4、5四．课堂小结回顾本节课，你有什么收获？五、作业布置：教材P46练习B能直接在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=a2吗?为什么?