2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系

12.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计本节内容结合初三学过的一元二次方程，三角形相似，勾股定理，必修一集合的知识，让学生通过古代数学语言，体会数学在实际生活中的应用，了解近年来高考的语境。【教学目标】1、掌握一元二次方程一般式解集的方法.2、掌握一元二次方程根与系数的关系.3、会用整体代入法解一元二次方程.4、学会用配方法推出一元二次方程的解集.5.灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.【核心素养】1、数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。2、逻辑推理:由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。3、数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。4、数学运算:掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。5、数据分析:对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。【教学重点】1、掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程.2、用根与系数的关系解题.3、实际情景问题中构建一元二次方程模型.【教学难点】1、用整体代入法解一元二次方程.2、灵活运用根与系数的关系，基础恒等式解决问题.2回顾初中所学的一元二次方程，三角形相似，勾股定理等知识。一、一元二次方程的解集【情境与问题】我们知道，形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.3从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？【尝试与发现】不难知道，如果一个一元二次方程可以化为x2=t的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的.（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同。）例如，方程x2=3的解集为{一3，3}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为∅.一般地，方程x2=t：（1）当t0时，解集为{x，-x}；（2）当t=0时，解集为{0}；（3）当t0时，解集为∅.更进一步，形如(x-k)2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集也容易得到.例如，由(x-1)2=2可知x-1=﹣2或x-1=2，从而x=1-2或x=1+，因此解集为{1-2，1+2}.一般地，方程(x-k)2=t：（1）当t0时，解集为；（2）当t=0时，解集为；（3）当t0时，解集为.因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集.【尝试与发现】我们知道,利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明.怎样将x2+2x+3=0化为(x-k)2=t的形式?动手试试看,并写出这个方程的解集.4因此x2+2x+3=0可以化为(x+1)2=﹣2,从而解集为∅.事实上,利用配方法,总是可以将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式,过程如下:因为a≠0,所以一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。前述情境与问题中的方程可以化为(x+17)2=71289，从而可解得x=250或x=-284（舍）.【典型例题】例1求方程01x2x的解集.分析这不是一个一元二次方程，但是通过把x看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.解设=y,则y≥0,且原方程可变为01-y2y2因此可知y=1+2或y=1-2(舍)从而x=1+2,即x=3+22,所以原方程的解为{3+22}.二、一元二次方程根与系数的关系我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为x5①①当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根.【尝试与发现】这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.【典型例题】例2已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）|x1-x2|.【尝试与发现】解:如下图所示:本节内容新引用了“整体代入法”数学思想，也有一元二次方程常考的“分类讨论”思想，对学生的运算能力有一定的要求。计算x1+x2和x1x2的值,并填空:x1+x2=,x1x2=,求出x1和x2，并由此给出上述（1）和（2）的答案。6