2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法教学设

11.1.1集合及其表示方法集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。【数学抽象】了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;【数据分析】理解元素与集合的属于和不属于关系;【数学运算】掌握常用数集及其记法;【逻辑推理】掌握集合的表示方法；【教学重点】1、掌握集合、元素的基本概念2、学会用描述法表示集合3、用区间表示集合【教学难点】1、集合中元素的三个特征2、空集的理解3、记住几种常见的数集符号由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．2【新课导入】在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.【新课讲授】一、集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。集合通常用英文大写字母A，B，C，...表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，...表示。如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”.【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么.【典型例题】（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0∈A，0.5∉A；（2）如果B是由方程x²=1的所有解组成的集合，则-1∈B，0∉B，1∈B（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长r（r0）的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P∈C.【思考与讨论】现在我们来考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素。一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.由空集的定义可得，0∉∅，1∉∅3【小结】根据集合的概念可知，集合的元素具有以下特点：（1）确定性：集合的元素必须是确定的.因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来.（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素.例如，由英语单词success（成功）中的所有英文字母组成的集合，包含的元素只有4个，即s，u，c，e.（3）无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关。【尝试与发现】（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？（3）不等式x一21的所有解能组成一个集合吗？二、几种常见的数集有一些数的集合经常要用到，为了方便起见，人们用约定俗成的符号来表示它们.（1）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N.值得注意的是，0∈N，即0是自然数集N中的一个元素.容易看出，如果a∈N，b∈N，则一定有a+b∈N且ab∈N，但a-b∈N和a/b∈N都不一定成立。例如，1∈N，3∈N，但1-3=-2∉N且⅓∉N.在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N＋，或N*（2）所有整数组成的集合，称为整数集，记作Z与自然数集N不同的是，如果a∈Z，b∈Z，则一定有a-b∈Z，但a/b不一定成立（请学生自己举例说明）.（3）所有有理数组成的集合，称为有理数集，记作Q.我们知道，凡是能够表示成分数（即两个整数的商）的数称为有理数。因此，如果a∈Q，b∈Q且b≠0，则a/b∈Q.例如，43∈Q，1/2∈Q，且3/1/2＝6∈Q.（4）所有实数组成的集合，称为实数集，记作R.显然，如果a∈R，b∈R，则a+b∈R，a-6∈R，ab∈R当b≠0时，还有a/b∈R.如不特别声明，本书中所有字母表示的数均指实数.利用集合的符号，可以简化自然语言描述，比如：“0是整数”可以表示为“0∈Z”；“π不是有理数”可以表示为“π∉Q”；“如果n是自然数，那么n+1也是自然数”可以表示为“如果n∈N，那么n+l∈N”.【思考与讨论】（1）无限循环小数1.99...可以表示成分数吗？（2）任何一个无限循环小数都是Q中的元素，对吗？三、列举法前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合.把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为{0，1}；又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24组成的集合可用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}；再比如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》｝.5用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.例如，{1，2}与{2，1}表示同一个集合。但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为{0，1，2，3，...，100}.无限集有时也可用列举法表示.例如，自然数集N可表示为{0，1，2，3，...，n，...}值得注意的是，只含一个元素的集合{a）也是一个集合，要将它与它的元素a加以区别，事实上，a∈{a}.四、描述法【思考与讨论】以下集合用列举法表示方便吗？如果不万便，你觉得可以怎样表示？（1）满足x3的所有数组成的集合A；（2）所有有理数组成的集合Q.显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合A中的元素x都具有性质“x是大于3的数”，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，因此可以把集合A表示为{x|x是大于3的数}或{x|x3），即A={x|x是大于3的数}或A={x|x3}.类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，因此可以把Q表示为Q={x1x是两个整数的商}或Q={xlx=m/n，m∈Z，n∈Z，n≠0）.上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质.一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p（x）称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p（x）表示为{x|p（x）}.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为6{x|x是一组对边平行且相等的四边形}..再例如，所有能被3整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为{x|x=3n，n∈Z）.类似地，所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为{x|x=3n+1，n∈N}，不过这一集合通常也表示为{x∈N|x=3n+1，n∈Z）.这就是说，集合{x|p（x）}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p（x）}.【典型例题】用适当的方法表示下列集合：（1）方程x（x一1）=0的所有解组成的集合A；（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.【思考与讨论】判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法.解:(1)因为0和1是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个解，所以A={0，1）.(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B={（x，y）|x0，y0}.五、区间及其表示习惯上，如果ab，则集合{x|a≤x≤b）可简写为[a，b]，并称为闭区间.例如，集合{x|1≤x≤2）可简写为闭区间[1，2].类似地，如果ab：集合{x|axb）可简写为（a，b），并称为开区间；集合{x|a≤xb）可简写为[a，b），集合{x|ax≤b}可简写为（a，b]，并都称为半开半闭区间.上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.区间可以用数轴形象地表示.例如，区间[-2，1）可用下图表示，注意图中一2处的点是实心点，而1处的点是空心点.7如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集R可表示为区间（－∞，+∞）集合{x|x≥a）可表示为区间[a，+oo）集合{x|xa}可表示为区间（a，+oo）集合{红|x≤a}可表示为区间（－∞，a]集合{红|xa}可表示为区间（－∞，a）类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示.例如，区间[7，+oo）可以用下图表示【典型例题】本节课是高中学生的第一节课，本次课以培养学生学习数学兴趣，树立学生自信心为主要目的。教师讲课须生动形象有趣，贴近生活，提高学生学习数学的兴趣；习题须由浅入深，以浅为主，增强学生学好数学的自信心，课堂上多提问，培养学生思考能力和专注力，保持课堂的活泼性。8