2020版高考数学大二轮复习 7.1 概率学案 文

-1-第1讲概率考点1古典概型1．古典概型的概率：P(A)＝mn＝事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数.2．古典概型的两个特点：(1)所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．[例1](1)[2019·全国卷Ⅱ]生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15(2)[2019·全国卷Ⅲ]两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12【解析】(1)本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算与数据分析．记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P＝610＝35.(2)本题考查古典概型，以现实生活中常见的学生排队问题为背景，考查学生对数学知识的应用意识．设两位男同学分别为A、B，两位女同学分别为a、b，则四位同学排成一列，所有可能的结果用树状图表示为-2-共24种结果，其中两位女同学相邻的结果有12种，∴P(两位女同学相邻)＝1224＝12，故选D.【答案】(1)B(2)D古典概型求解的三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝mn求出事件A的概率.『对接训练』1．[2019·广东深圳模拟]抛两个各面上分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子，向上一面的两个数字之和为3的概率是()A.13B.16C.136D.118解析：向上的两个数之和为3的有(1,2)，(2,1)两种情况，抛掷两个骰子一共有36种情况，故向上一面的两个数字之和为3的概率是118，故选D.答案：D2．[2019·四川成都一诊]齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A.49B.59-3-C.23D.79解析：设齐王的上等、中等、下等马分别为A，B，C，田忌的上等、中等、下等马分别为a，b，c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9种，∵有优势的马一定获胜，∴齐王的马获胜包含的基本事件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6种，∴齐王的马获胜的概率P＝69＝23，故选C.答案：C考点2几何概型1．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．[例2](1)[2018·长沙联考]长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为()A.π24B.14C.13D.π8(2)[2019·陕西汉中二模]某电视台每天中午12：30到13：00播放当地新闻，在此期间将随机播出时长5分钟的当地文化宣传片．若小张于某天12：50打开电视，则他能完整收看到这个宣传片的概率是()A.25B.13C.15D.16【解析】(1)由题意，得该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，即铁饼圆心所在区域为矩形-4-ABCD，要使该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域，则铁饼圆心所在矩形为EFGH，由几何概型的概率公式，得该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为P＝4×26×4＝13，故选C.(2)他能完整收看到这个宣传片的时间是12：50到12：55，共5分钟，12：30到12：55，共25分钟，∴所求概率P＝525＝15.故选C.【答案】(1)C(2)C(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.『对接训练』3．[2019·江西上饶“山江湖”协作体三模]如图，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，其中AB＝2，则质点落在以AB为直径的半圆内(阴影部分)的概率是()A.π12B.π4C.π8D.π16解析：根据几何概型概率的计算公式，可知所求概率为12π×122×2＝π8，故选C.答案：C4．[2019·山东青岛调研]有一底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离大于1的概率为()A.13B.23C.34D.14-5-解析：设点A到点O的距离小于或等于1的概率为P1，则P1＝V半球V圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点A到点O的距离大于1的概率P＝1－13＝23，故选B.答案：B考点3概率与其他知识的交汇概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，多与统计、函数、方程、数列、平面向量、不等式(线性规划)等知识交汇命题．[例3][2019·四川成都摸底]2018年央视大型诗词文化音乐节目《经典咏流传》热播，掀起了全民诵读诗词的热潮．某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读的时间不超过两小时)，并按时间(单位：min)分成六个组：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．根据统计数据得到了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若2名同学诵读诗词的时间分别为x，y，当x，y满足|x－y|＞60时，这2名同学组成一个小组，已知从每天诵读时间小于20min和大于或等于80min的所有学生中用分层抽样的方法抽取5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的2人能组成一个小组的概率．【解析】(1)各组数据的频率之和为1，即所有小矩形的面积和为1，故(a＋a＋6a＋8a＋3a＋a)×20＝1，解得a＝0.0025，所以该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间为10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64(min)．(2)由频率分布直方图知诵读诗词的时间在[0,20)，[80,100)，[100,120]内的学生人数的频率之比为：：1，故抽取的5人中诵读诗词的时间在[0,20)，[80,100)，[100,120]内的学生人数分别为1,3,1.设在[0,20)内的1名学生为A，在[80,100)内的3名学生分别为B，C，D，在[100,120]内的1名学生为E，则抽取2人的所有基本事件有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，-6-{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10种．选取的2人能组成一个小组的情况有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，共4种．故选取的2人能组成一个小组的概率为P＝410＝25.解决概率与统计综合问题的一般步骤『对接训练』5．[2019·贵州贵阳监测]互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为人们日常生活中不可或缺的一部分．M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两家网络外卖企业(以下简称外卖A、外卖B)的服务质量进行了调查，从使用过这两家外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数种类[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]外卖A(人数)50150100400300外卖B(人数)100100300200300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意．若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高．现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：分数[0,40)[40,60)[60,80)[80,100]-7-服务质量指标0123用频率表示概率，解决问题：从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率．解析：记外卖A的“服务质量指标”为事件Ai，外卖B的“服务质量指标”为事件Bi，i∈{0,1,2,3}，则其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率为P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.课时作业16概率1．[2019·新疆生产建设兵团二中模拟]有一枚质地均匀的骰子，抛掷两次，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是()A．点数都是偶数B．点数的和是奇数C．点数的和小于13D．点数的和小于2解析：画出树状图如下：由图可知共有36种情况，其中点数都是偶数的情况有9种，点数的和为奇数的情况有18种，点数和小于13的情况有36种，点数和小于2的情况有0种，故选C.答案：C2．[2019·湖北宜昌联考]某次下课后，某教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2个走出的是女同学的概率是()A.12B.13C.14D.15解析：由题意知共有6个基本事件，第2个走出的是女同学包含2个基本事件，所以第2个走出的是女同学的概率是13.-8-答案：B3．[2019·山东青岛调研]已知某运动员每次投篮投中的概率是40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0～9中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．现产生了如下10组随机数；907966191925271431932458569683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为()A.15B.35C.310D.910解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为310，故选C.答案：C4．[2019·广东佛山调研]将一根长为6m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为()A.13B.23C.25D.35解析：绳子的长度为6m，剪成两段后，设其中一段的长度为xm，则另一段的长度为(6－x)m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A，则A＝{x|0x6，x26－x或6－x2x}＝{x|0x2或4x6}，∴P(A)＝23，故选B.答案：B5．[2019·河北九校联考]如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68解析：由题意，可估计椭圆的面积为1－96300×6×4＝16.32.故选A.答案：A-9-6．[2019·河南中原名校联盟一模]市场调查发现，大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的