2020版高考数学大二轮复习 5.1 空间几何体学案 理

-1-第1讲空间几何体考点1三视图、直观图与截面图、展开图一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．[例1](1)[2018·全国卷Ⅰ]某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2(2)[2019·黑龙江哈尔滨六中模拟]如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8，当侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为________．【解析】(1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．①②圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，∴|MN|＝OM2＋ON2＝22＋42＝25.-2-故选B.(2)设底面ABC的面积为S，当侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则水的体积为34S×8，当底面ABC水平放置时，设液面高为h，水的体积为Sh，则Sh＝34S×8，可得h＝6.【答案】(1)B(2)61．由直观图确认三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状.『对接训练』1．[2019·广东实验中学段考]正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()-3-解析：如图，F为DD1的中点，过点A，E，C1的平面为平面AEC1F，该平面截去正方体的上半部分后，剩余几何体的侧视图为C，故选C.答案：C2.[2019·江西八所重点中学联考]某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A.52B.2C.355D.32解析：在棱长为2的正方体中还原该四面体PABC如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC.因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为32，故选D.答案：D考点2空间几何体的表面积与体积空间几何体的几组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；-4-②S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；③S台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．(2)柱体、锥体、台体的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V台＝13(S＋SS′＋S′)h(不要求记忆)．[例2](1)[2019·天津卷]已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．(2)[2019·重庆一中调考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4【解析】(1)本题主要考查空间几何体的结构特征与体积的计算，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×122×1＝π4.(2)由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示，表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π，故选D.【答案】(1)π4(2)D-5-1．求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位的考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.『对接训练』3．[2019·江苏卷]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．解析：本题主要考查空间几何体的体积，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．因为长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，所以CC1·S四边形ABCD＝120，又E是CC1的中点，所以三棱锥E－BCD的体积VE－BCD＝13EC·S△BCD＝13×12CC1×12S四边形ABCD＝112×120＝10.答案：104．[2019·云南昆明教学质量检测]一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为()-6-A．123B．24C．12＋3D．24＋23解析：根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示，所以该三棱柱的侧面积S＝[]232＋12＋2×4＝(2×2＋2)×4＝24.故选B.答案：B考点3多面体与球1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．2．球的表面积和体积公式①S球表＝4πR2(R为球的半径)；②V球＝43πR3(R为球的半径)．[例3][2019·全国卷Ⅰ]已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．86πB．46πC．26πD.6π【解析】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，考查考生的化归与转化能力、空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．方法一因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.-7-取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR3＝43π623＝6π，故选D.方法二设PA＝PB＝PC＝2a，则EF＝a，FC＝3，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝a2＋3－a2－2a22a3－a2.在△AEC中，cos∠AEC＝a2＋3－a2－42a3－a2.∵∠PEC与∠AEC互补，∴3－4a2＝1，a＝22，故PA＝PB＝PC＝2.又∵AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直径2R＝22＋22＋22＝6，∴R＝62，∴V＝43πR3＝43π×623＝6π.故选D.【答案】D-8-(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为d，常利用直角三角形建立量的关系，R2＝d2＋r2.『对接训练』5．[2019·河南洛阳尖子生联考]四棱锥S－ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O的体积等于()A.32π3B.322π3C．16πD.162π3解析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥．如图，连结AC，则球心O为AC的中点，连接SO，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，∴AB＝BC＝2R.取AB的中点E，连接OE，SE，则OE＝12BC＝22R，SE＝SO2＋OE2＝62R.∵该四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，∴(2R)2＋4×12×2R×62R＝8＋83，得R＝2，∴球O的体积为43πR3＝32π3.故选A.答案：A6．[2019·福建五校第二次联考]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为________．解析：如图，设BC的中点为D，B1C1的中点为D1，连接DD1，取其中点O′，连接AD，A1D1，-9-则DA＝DB＝DC，D1A1＝D1B1＝D1C1，且DD1垂直于直三棱柱的上、下底面，所以点O′到直三棱柱的各个顶点的距离相等，即点O′为直三棱柱的外接球的球心O，连接OB，则球O的直径为2BO＝2BD2＋DO2＝2522＋12×122＝13.答案：13课时作业11空间几何体1.[2019·贵州七校联考]如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图分别是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤解析：正视图是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.故选B.答案：B2．[2019·山东德州联考]圆锥被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，如图所-10-示是该几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．5π＋43B．10π＋43C．14π＋43D．18π＋43解析：由三视图可知该几何体是由半个圆锥和半个球构成的，所以几何体的表面积为12×4×23＋12×π×22＋12×4×π×22＋12×2π×22＋232＝14π＋43.故选C.答案：C3．某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，此圆锥的体积为()A．πB.22π3C．2πD．22π解析：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为α，则S＝12αR2＝12×2π3×R2＝3π，解得R＝3，底面圆的半径r满足rR＝2π32π，解得r＝1，所以这个圆锥的高h＝32－12＝22，故圆锥的体积V＝13πr2h＝22π3，故选B.答案：B4．[2019·河南郑州一中摸底]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的棱的长度为()-11-A．26B．25C．4D．22解析：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥A－CDEF和三棱锥F－ABC的组合体，由图知该几何体最长的一条棱为AF，AF＝42＋22＋22＝26，故选A.答案：A5．[2019·安徽安师大附中摸底]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12B．18C．24D．30解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥后得到的，如图，该几何体的体积V＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24，故选C.答案：C6．[2019·开封高三定位考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几-12-何体的体积为()A．4πB．2πC.4π3