（浙江专用）2019-2020学年高中数学 提升综合素养（三）不等式 新人教A版必修5

-1-提升综合素养（三）不等式1．若1a＜1b＜0，则下列不等式不正确的是()A．a＋b＜abB.ba＋ab＞0C．ab＜b2D．a2＞b2解析：选D由1a＜1b＜0，可得b＜a＜0，故选D.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．3解析：选A由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2B．23－2C．23D．2解析：选A∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥23＋2（当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时等号成立）．4．不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为()A.－∞，32B.－∞，－32C.32，＋∞D.－32，＋∞-2-解析：选A不等式|x－2|－|x－1|＞0即|x－2|＞|x－1|，平方化简可得2x＜3，解得x＜32，故选A.5．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A．5B．29C．37D．49解析：选C由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A．0B．1C.94D．3解析：选B由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，∴xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3.又x，y，z为正实数，∴xy＋4yx≥4，即xyz≤1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－22y2＝－1y2＋2y＝－1y－12＋1，当1y＝1，即y＝1时，上式有最大值1.7．若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，-3-∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时yx最大．由x＝1，x＋y－4＝0，得x＝1，y＝3.∴A(1,3)．∴yx的最大值为3.答案：38．设正数a，使a2＋a－20成立，若t0，则12logat________logat＋12(填“”“≥”“≤”或“”)．解析：因为a2＋a－20，所以a－2或a1，又a0，所以a1，因为t0，所以t＋12≥t，所以logat＋12≥logat＝12logat.答案：≤9．若实数x，y满足约束条件y≥x，x＋y≤4，2x－y≥k.已知点(x，y)所表示的平面区域为三角形，则实数k的取值范围为________，又z＝x＋2y有最大值8，则实数k＝________.解析：作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．要想点(x，y)所表示的平面区域为三角形，则B(2,2)必须在直线2x－y＝k的右下方，即2×2－2k，则k2，则实数k的取值范围为(－∞，2)．观察图象可知，当直线z＝x＋2y过点A时，z有最大值，联立2x－y＝k，x＋y＝4，解得x＝4＋k3，y＝8－k3，即A4＋k3，8－k3，代入z＝x＋2y中，即4＋k3＋2×8－k3＝8，解得k＝－4.答案：(－∞，2)－410．已知函数f(x)＝|x－2|.-4-(1)解不等式：f(x＋1)＋f(x＋2)＜4；(2)已知a＞2，求证：对任意x∈R，f(ax)＋af(x)＞2恒成立．解：(1)f(x＋1)＋f(x＋2)＜4，即|x－1|＋|x|＜4，①当x≤0时，不等式为1－x－x＜4，即x＞－32，∴－32＜x≤0是不等式的解；②当0＜x≤1时，不等式为1－x＋x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；③当x＞1时，不等式为x－1＋x＜4，即x＜52，∴1＜x＜52是不等式的解．综上所述，不等式的解集为－32，52.(2)证明：∵a＞2，∴f(ax)＋af(x)＝|ax－2|＋a|x－2|＝|ax－2|＋|ax－2a|＝|ax－2|＋|2a－ax|≥|ax－2＋2a－ax|＝|2a－2|＞2，∴对任意x∈R，f(ax)＋af(x)＞2恒成立．11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f(n)＝－2n2＋40n－72.(1)获利就是要求f(n)0，所以－2n2＋40n－720，解得2n18.由n∈N知从第三年开始获利．(2)①年平均利润＝fnn＝40－2n＋36n≤16.当且仅当n＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6.②f(n)＝－2(n－10)2＋128.当n＝10时，f(n)max＝128.-5-故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．12．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求b－3a－1的最大值和最小值．解：设f(x)＝x2＋ax＋2b，由题意f(x)在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，∴f0≥0，f1≤0，f2≥0，即b≥0，a＋2b＋1≤0，a＋b＋2≥0，建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图．由a＋2b＋1＝0，a＋b＋2＝0，解得a＝－3，b＝1，即C(－3,1)．令k＝b－3a－1，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．又B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝32，kAC＝12，∴12≤b－3a－1≤32.故b－3a－1的最大值是32，最小值是12.