2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十三）直线与圆的位置关系 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（二十三）直线与圆的位置关系一、基本能力达标1．直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝100的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相离解析：选C圆心O到直线的距离d＝|－40|5＝8＜10＝r，∴直线与圆相交．2．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于()A．4B．2C．22D.2解析：选C直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径22，故选C.3．若直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝r2(r＞0)相切，则实数r的值等于()A.22B．1C.2D．2解析：选A由d＝r，得|－1|12＋12＝r，∴r＝22.4．圆心为(3,0)且与直线x＋2y＝0相切的圆的方程为()A．(x－3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝3C．(x－3)2＋y2＝3D．(x－3)2＋y2＝9解析：选B由题意知所求圆的半径r＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C圆的圆心为(a,0)，半径为2，所以|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1.6．直线2x－y－1＝0被圆(x－1)2＋y2＝2所截得的弦长为________．-2-解析：圆心为(1,0)，半径为2，圆心到直线的距离d＝|2－0－1|5＝15，弦长l＝2r2－d2＝22－15＝655.答案：6557．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d＜1，∴|c|13＜1，∴－13＜c＜13.答案：(－13,13)8．直线x＋y＋a＝0(a＞0)与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且S△OAB＝3，则a＝________.解析：∵圆心到直线x＋y＋a＝0的距离d＝|a|2，|AB|＝2×4－a22，∴S△OAB＝12×2×4－a22×|a|2＝3，解得a2＝6或a2＝2.又a＞0，∴a＝6或2.答案：6或29．求实数m，使直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)相交；(2)相切；(3)相离．解：圆的方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心为(3,0)，半径为r＝2，圆心到直线的距离d＝61＋m2.(1)若直线与圆相交，则d＜r，即61＋m2＜2，解得m＜－22或m＞22.(2)若直线与圆相切，则d＝r，即61＋m2＝2，解得m＝－22或22.(3)若直线与圆相离，则d＞r，即61＋m2＞2，解得－22＜m＜22.10．已知圆C满足以下条件：①圆上一点A关于直线x＋2y＝0的对称点B仍在圆上，②圆心在直线3x－2y－8＝0上，-3-③与直线x－y＋1＝0相交截得的弦长为22，求圆C的方程．解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵圆上的点关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在x＋2y＝0上，∴a＋2b＝0.又∵3a－2b－8＝0，∴a＝2，b＝－1.∵圆被直线x－y＋1＝0截得的弦长为22，∴|2＋1＋1|22＋(2)2＝r2，∴r2＝10，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝10.二、综合能力提升1．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．不确定解析：选B圆心C到直线l的距离d＝1a2＋b2＜1，即a2＋b2＞1.故点P在圆外．2．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是()A．相切B．相离C．相交D．不确定解析：选C由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝r2a2＋b2，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交．3．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0D．x－y－3＝0解析：选D圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选D.4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．3解析：选C因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心-4-(3,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，所以切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7，故选C.5．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l1的距离为22，即|a|2＝22⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.答案：26．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1－x2有两个公共点，则b的取值范围是________．解析：如图所示，y＝1－x2是一个以原点为圆心，长度1为半径的上半圆，y＝x＋b是一个斜率为1的直线，要使直线l与曲线C有两个交点，连接A(－1,0)和B(0,1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b＝1；当直线l与半圆相切时，b＝2.所以b的取值范围是[1，2)．答案：[1，2)7．圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，∴|2a＋b＋15|22＋12＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10，①|2a＋b－5|22＋12＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10,②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b－1a－2＝12，③由①②③解得a＝－2，b＝－1.∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.探究应用题-5-8.如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．解：(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，易得|MN|＝219，符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1，∴|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.