2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十一）圆的标准方程 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（二十一）圆的标准方程一、基本能力达标1．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为()A．4x－y＝0B．4x＋y＝0C．x－4y＝0D．x＋4y＝0解析：选B由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：选A(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.3．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析：选Dy＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．4．已知一圆的圆心为M(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：选A由已知条件可得直径的两个端点坐标分别为(0，－6)，(4,0)，此圆的半径为4－22＋0＋32＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.5．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于()A．13B．7C．－13D．以上答案都不对解析：选B当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0.解得a＝7.-2-6．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为________．解析：由(a－1)2＋(a＋2)2＜2a2得a＜－52.答案：－∞，－527．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r＝2－02＋－3－12＝25，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝20.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝208．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝19．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．解：(1)∵PQ中点为12，12，且kPQ＝－1，∴圆心所在的直线方程为y－12＝x－12，即x－y＝0.(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，则{1－a2＋b2＝1，a2＋b－12＝1，解得{a＝0b＝0或{a＝1b＝1.∴圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.10．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由x－3y－6＝0，3x＋y＋2＝0，解得点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．-3-又r＝|AM|＝2－02＋0＋22＝22，所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.二、综合能力提升1．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则△ABC的外接圆方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝5解析：选C易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2解析：选B由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B.3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝5解析：选C直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.由x＋1＝0，－x－y＋1＝0得x＝－1，y＝2，∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.4．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为()A．(x－3)2＋(y－3)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1D．不存在解析：选C设圆心为C(a，b)，则|a|＝|b|，∵圆心在2x－y＝3上，∴当a＝b时，代入得a＝b＝3，圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.当a＝－b时，同理得a＝1，b＝－1，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.5．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．-4-解析：由{x－y＋2＝02x＋y－8＝0，可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝2－02＋4－02＝25，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.答案：(x－2)2＋(y－4)2＝206．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝22＋4－m2－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.答案：17．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0,1)，半径r＝12|AB|＝10.则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)法一：直线AB的斜率k＝4－－2－1－1＝－3，即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝13x，即x－3y＋3＝0.由{x－3y＋3＝02x－y－4＝0，解得{x＝3y＝2，即圆心的坐标是C(3,2)．∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则1－a2＋－2－b2＝r2，－1－a2＋4－b2＝r2，2a－b－4＝0⇒a＝3，b＝2，r2＝20.∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.探究应用题8．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求x－22＋y－32的取值范围．-5-解：(1)法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝3.∴切线l的倾斜角为60°，∴yx的最大值为3.类似地容易求得yx的最小值为－3.法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3，联立消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，∴－3≤n≤3，即yx的最大值、最小值分别为3，－3.(2)x－22＋y－32可以看成圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离．圆心C(0,1)到A(2,3)的距离为d＝0－22＋1－32＝22.由图可知，圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离的范围是22－12，22＋12.所以x－22＋y－32的取值范围是22－12，22＋12.