2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十四）圆与圆的位置关系 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（二十四）圆与圆的位置关系一、基本能力达标1．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则()A．E＝－4，F＝8B．E＝4，F＝－8C．E＝－4，F＝－8D．E＝4，F＝8解析：选C由题意联立两圆方程x2＋y2－2x＋F＝0，x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，得4x＋Ey－4－F＝0，则E4＝－1，－4－F4＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.2．到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝3＋12＋－1－22＝5.半径之和为3＋1＝4，因为54，所以圆A和圆B相离，因此它们的公切线有4条．3．设r＞0，两圆C1：(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与C2：x2＋y2＝16不可能()A．相切B．相交C．内切或内含或相交D．外切或相离解析：选D圆C1的圆心为(1，－3)，圆C2的圆心为(0,0)，圆心距d＝10，于是d＝10＜4＋r，但可能有d＝|4－r|或d＜|4－r|，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含．4．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(121，＋∞)C．[1,121]D．(1,121)解析：选Cx2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．与两圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C两圆的圆心距为5，两圆半径和为5，故两圆外切．因此有两条外公切线和一条内公切线共3条，故选C.-2-6．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为________．解析：线段AB的垂直平分线为两圆的连心线，所以所求的直线方程为x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝1a1＝22－32＝1，解得a＝1.答案：18．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．解析：∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径为1和5，两圆外切时有－4－02＋a－02＝1＋5，∴a＝±25，两圆内切时有－4－02＋a－02＝5－1，∴a＝0.综上a＝±25或a＝0.答案：±25或09．圆A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，圆B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断圆A和圆B是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由．解：圆A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，圆B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴两圆心之间的距离满足3－2＜|AB|＝1＋12＋1＋12＝22＜3＋2，即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，∴两圆相交．圆A的方程与圆B的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5＝0，即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝0－22＋－1－12－2＝2(2－1)，∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－82.(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r2－8＝0.-3-∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为|0－4＋r2－8|42＋42＝4－2222＝2，解得r2＝4或20.∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.二、综合能力提升1．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是()A．5B．7C．9D．11解析：选C由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－－3]2＋[－2－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.2．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为()A．－1B．2C．3D．0解析：选C由题意知直线x－y＋c＝0垂直平分线段AB，∵kAB＝3－－11－m＝41－m，AB中点为1＋m2，1，∴41－m＝－1，1＋m2－1＋c＝0，∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.故选C.3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5B．1C．35－5D．35＋5解析：选C圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4B．42C．8D．82解析：选C∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2-4-＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝32×2＝8.5．已知圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最小值是________．解析：将圆C的方程化为标准方程，得(x－4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r＝1.又直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以点C到直线y＝kx＋2的距离小于或等于2，即|4k－0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值是－43.答案：－436．与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－42＋b＋12＝1，①由两圆外切，得a－22＋b＋12＝1＋2＝3，②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－5)2＋(y＋1)2＝17．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即|3k－4－k|k2＋1＝2，解之得k＝34.所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)，r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5，∴a－32＋2－a－42＝5，-5-解得a＝3，或a＝－2，∴D(3，－1)或D(－2,4)．∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9.探究应用题8．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝1＋12＋－2－02＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，则圆心距d＝m＋12＋－2－02＜3－1，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．