2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（十九）两点间的距离公式 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（十九）两点间的距离公式一、基本能力达标1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5解析：选C由|AB|＝－2－a2＋－1－32＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C.2．已知平面上两点A(x，2－x)，B22，0，则|AB|的最小值为()A．3B．13C．2D．12解析：选D∵|AB|＝x－222＋()2－x－02＝2x－3242＋14≥12，当且仅当x＝324时等号成立，∴|AB|min＝12.3．已知两直线l1：x＋y－2＝0，l2：2x－y－1＝0相交于点P，则点P到原点的距离为()A.5B．5C.2D．2解析：选C由{x＋y－2＝02x－y－1＝0，得{x＝1y＝1，两直线的交点坐标为(1,1)，故到原点的距离为1－02＋1－02＝2.4．已知点M(－1,3)，N(5,1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是()A．x＋3y－8＝0B．x－3y＋8＝0C．x－3y＋9＝0D．3x－y－4＝0解析：选D由|PM|＝|PN|，得(x＋1)2＋(y－3)2＝(x－5)2＋(y－1)2，化简得3x－y－4＝0.5．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x平行，则|AB|的值为()A．6B.6C.2D．2解析：选CkAB＝b－a5－4＝b－a.又因为过点A，B的直线与y＝x平行，所以b－a＝1，所以|AB|＝5－42＋b－a2＝2.6．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．-2-解析：|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2＝2a2－2a＋25＝2a－122＋492，所以当a＝12时，|AB|取得最小值．答案：127．点P与x轴及点A(－4,2)的距离都是10，则P的坐标为________．解析：设P(x，y)．则|y|＝10，x＋42＋y－22＝100.当y＝10时，x＝2或－10，当y＝－10时无解．则P(2,10)或P(－10,10)．答案：(2,10)或(－10,10)8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．解析：设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴x2＝2，y2＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝42＋22＝25.答案：259．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．解：∵点B在直线l1上，∴设B(x0,6－2x0)．∵|AB|＝5，∴x0－12＋7－2x02＝5，整理，得x20－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.∴点B的坐标为(1,4)或(5，－4)．∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.10．用解析法证明：四边形ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.证明：分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a,0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0)．则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2.∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.二、综合能力提升-3-1．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是()A．23B．3＋23C．6＋32D．6＋10解析：选C|AB|＝2＋12＋32＝32，|BC|＝2＋12＋0＝3，|AC|＝2－22＋32＝3，则△ABC的周长为6＋32.2．已知点A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是()A．(4,0)B．(13,0)C．(5,0)D．(1,0)解析：选B点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求．直线A′B的方程是y＋3＝－2＋35－1(x－1)，即y＝14x－134.令y＝0，得x＝13.3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C根据两点间的距离公式，得|AB|＝5－12＋5－42＝17，|AC|＝5－42＋5－12＝17，|BC|＝1－42＋4－12＝32，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．4．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A走到B的距离为()A．52B．25C．510D．105解析：选C如图所示，作点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，连接A′B，则光线从A到B走过的路程等于|A′B|，即2＋32＋10＋52＝510.5．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．解析：|BD|＝12|BC|＝2，|AD|＝5－32＋4－02＝25.在Rt△ADB中，-4-由勾股定理得腰长|AB|＝22＋252＝26.答案：266．在△ABC中，A(1,1)，B(3,1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________．解析：设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等边三角形，所以|AC|＝|BC|，即x－12＋y－12＝x－32＋y－12.①又|AC|＝|AB|，即x－12＋y－12＝1－32＋1－12.②由①得x＝2，代入②得y＝1±3.所以所求点C的坐标为(2,1＋3)或(2,1－3)．答案：(2,1＋3)或(2,1－3)7．已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：|AG|＝|AD|.证明：建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，E(1,0)，F(0,1)，D(2,2)．直线DE的方程为y＝2x－2，直线CF的方程为y＝－12x＋1，联立方程组y＝2x－2，y＝－12x＋1，得x＝65，y＝25，即点G65，25.从而|AG|＝65－02＋25－22＝2＝|AD|，所以|AG|＝|AD|.探究应用题8．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．解：原式可化为y＝x－42＋0－22＋x－02＋0－12.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，-5-则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝4－02＋－2－12＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.