2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.1 向量的概念学案 新人教B版必

-1-6．1.1向量的概念考点学习目标核心素养向量的概念理解向量的有关概念及向量的几何表示数学抽象共线向量、相等向量理解共线向量、相等向量的概念数学抽象向量与几何的关系正确区分向量平行与直线平行直观想象问题导学预习教材P133－P136的内容，思考以下问题：1．向量是如何定义的？怎样表示向量？2．向量的相关概念有哪些？3．两个向量能比较大小吗？1．位移与向量(1)向量的概念一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)．向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量．(2)向量的表示方法①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为AB→，此时向量AB→的模用|AB→|表示．除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如a→，b→，c→等来表示向量．②始点和终点相同的向量称为零向量．零向量的模为0．零向量的方向是不确定．模不为0的向量通常称为非零向量．模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．■名师点拨向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的相等与平行一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，-2-因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线．■名师点拨共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)零向量没有方向．()(2)向量AB→的长度和向量BA→的模相等．()(3)单位向量都平行．()(4)零向量与任意向量都平行．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量．关于零向量，下列说法中错误的是()A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量只与零向量相等D．零向量的方向是任意的答案：A如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．①AD→与BC→；②OB→与OD→；③AC→与BD→；④AO→与OC→.答案：①④向量的有关概念判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；-3-(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．【解】(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．(1)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．(2)共线向量与平行向量①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．解析：①错误．若b＝0，则①不成立．②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同．③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量AB→，CD→必须在同一直线上．答案：③向量的表示及应用(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．-4-(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°处；②AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东处；③BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°处．【解】(1)可以写出12个向量，分别是：AB→，AC→，AD→，BC→，BD→，CD→，BA→，CA→，DA→，CB→，DB→，DC→，故填12.(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA→如图所示．②由于点B在点A正东处，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB→如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC→如图所示．(1)向量的两种表示方法①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，-5-可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB→，CD→，EF→等．(2)两种向量表示方法的作用①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．②用字母表示法表示向量，便于向量的运算．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求AD→的模．解：(1)作出向量AB→，BC→，CD→，如图所示：(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋（10）2＝55(米)，所以|AD→|＝55米．相等向量和共线向量如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．【解】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(2)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.(3)与a相等的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，FA→；与c相等的向量有FO→，ED→，AB→.1．[变问法]本例条件不变，试写出与向量BC→相等的向量．-6-解：与向量BC→相等的向量有OD→，AO→，FE→.2．[变条件，变问法]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．(1)找出与向量AB→共线的向量；(2)找出与向量AB→相等的向量．解：(1)依据图形可知DC→，ED→，EC→与AB→方向相同，BA→，CD→，DE→，CE→与AB→方向相反，所以与向量AB→共线的向量为BA→，CD→，DC→，ED→，DE→，EC→，CE→.(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知DC→，ED→与AB→长度相等且方向相同，所以与向量AB→相等的向量为DC→和ED→.1．下列结论正确的个数是()①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a||b|，则ab.A．0B．1C．2D．3解析：选B.①错误．温度是数量不是向量；②错误．零向量的模为0.③正确．因为零向量与任意向量共线；④错误．向量不能比较大小．2．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO→，BO→，OC→，OD→是()A．相等的向量B．平行的向量-7-C．有相同起点的向量D．模相等的向量解析：选D.由正方形的性质知|AO→|＝|BO→|＝|OC→|＝|OD→|.3．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向向量；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤解析：选D.由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确命题的序号是________．解析：由向量的相关概念可知④⑥正确．答案：④⑥[A基础达标]1．下面几个命题：(1)若a＝b，则|a|＝|b|；(2)若|a|＝0，则a＝0；(3)若|a|＝|b|，则a＝b；(4)若向量a，b满足|a|＝|b|，a∥b，则a＝b.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B.(1)正确．(2)错误．|a|＝0，则a＝0.(3)错误．a与b的方向不一定相同．(4)错误．a与b的方向有可能相反．2．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()A．单位圆B．一段弧-8-C．线段D．直线解析：选A.平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．3.如图，在⊙O中，向量OB→，OC→，AO→是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C.由圆的性质可知|OB→|＝|OC→|＝|AO→|.4．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.①正确；②错误；终点相同方向不一定相同或相反；③正确．5.如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量PQ→相等的向量是()A.PR→与QR→B.AR→与RC→C.RA→与CR→D.PA→与QR→解析：选B.向量相等要求模相等，方向相同，因此AR→与RC→都是和PQ→相等的向量．6．下列命题正确的是()A．共线向量一定在同一条直线上B．所有零向量都相等C．向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线D．平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量解析：选B.A错误，两个向量的方向相同或相反都是共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上，也可能在两条平行直线上．B显然正确．C错误，注意到零向量与任意向量共线，若b＝0，此结论不成立；若b≠0，此结论成立．D错误，平行四边形两对边所表示的向量可能方向相反．7．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．-9-解析：①错误．|a|＝12时，|a|＜|b|；②错误．a与b的方向关系无法确定；③正确，④