2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.2 指数函数的性质

-1-第1课时指数函数的性质与图像考点学习目标核心素养指数函数的概念理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性数学抽象指数函数的性质与图像掌握指数函数的性质和图像数学运算指数函数的定义域、值域会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域数学运算问题导学预习教材P9－P13的内容，思考以下问题：1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图像，可归纳出指数函数具有哪些性质？3．指数函数的图像过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？指数函数(1)一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a0且a≠1.(2)指数函数y＝ax(a0且a≠1)具有下列性质：①定义域是R．②值域是(0，＋∞)，即对任何实数x，都有ax0，也就是说函数图像一定在x轴的上方．③函数图像一定过点(0，1)．④当a1时，y＝ax是增函数；当0a1时，y＝ax是减函数．⑤指数函数的图像．■名师点拨底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图像是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图像是“下降”的．-2-判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2是指数函数．()(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．()(3)指数函数的图像一定在x轴的上方．()答案：(1)×(2)×(3)√函数y＝(3－1)x在R上是()A．增函数B．奇函数C．偶函数D．减函数答案：D函数y＝2－x的图像是()答案：B函数f(x)＝2x＋3的值域为________．答案：(3，＋∞)求指数函数的解析式已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．【解】设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝π13，所以f(x)＝πx3.根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．要求指数函数f(x)＝ax(a0且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1，2)，求a，b的值．解：由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1，2)代入y＝ax，得a＝2.-3-指数型函数的定义域、值域问题命题角度一：y＝f(ax)型求下列函数的定义域和值域．(1)y＝3x1＋3x；(2)y＝4x－2x＋1.【解】(1)函数y＝3x1＋3x的定义域为R(因为对一切x∈R，3x≠－1)．因为y＝（1＋3x）－11＋3x＝1－11＋3x，又因为3x0，1＋3x1，所以011＋3x1，所以－1－11＋3x0，所以01－11＋3x1，所以y＝3x1＋3x的值域为(0，1)．(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝2x－122＋34，因为2x0，所以当2x＝12时，即x＝－1时，y取最小值34，所以y＝4x－2x＋1的值域为34，＋∞.解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f(t)的问题．求下列函数的定义域与值域．(1)y＝1－12x；(2)y＝ax－1ax＋1(a0，且a≠1)．解：(1)因为1－12x≥0，所以12x≤1，解得x≥0，所以y＝1－12x的定义域为[0，＋∞)．令t＝1－12x(x≥0)，则0≤t1，所以0≤t1，-4-所以y＝1－12x的值域为[0，1)．(2)y＝ax－1ax＋1的定义域为R.法一：设ax＝t，则t∈(0，＋∞)．y＝t－1t＋1＝t＋1－2t＋1＝1－2t＋1.因为t0，所以t＋11，所以01t＋11，所以－2－2t＋10，所以－11－2t＋11.即y＝ax－1ax＋1的值域为(－1，1)．法二：由y＝ax－1ax＋1(a0，且a≠1)，得ax＝－y＋1y－1.因为ax0，所以－y＋1y－10，所以－1y1.所以y＝ax－1ax＋1的值域是(－1，1)．命题角度二：y＝af(x)型求函数y＝32x－1－19的定义域与值域．【解】要使函数有意义，则x应满足32x－1－19≥0，即32x－1≥3－2.因为y＝3x在R上是增函数，所以2x－1≥－2，解得x≥－12.故所求函数的定义域为－12，＋∞.当x∈－12，＋∞时，32x－1∈19，＋∞.所以32x－1－19∈[0，＋∞)．所以原函数的值域为[0，＋∞)．y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．求下列函数的定义域与值域：-5-(1)y＝0.31x－1；(2)y＝35x－1.解：(1)由x－1≠0，得x≠1，所以所求函数的定义域为{x|x≠1}．由1x－1≠0，得y≠1，所以所求函数的值域为{y|y0且y≠1}．(2)由5x－1≥0，得x≥15，所以所求函数的定义域为xx≥15.由5x－1≥0，得y≥1，所以所求函数的值域为{y|y≥1}．指数函数图像的应用命题角度一：指数函数整体图像在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝bax的图像可能是()【解析】根据选项中二次函数图像可知c＝0，所以二次函数y＝ax2＋bx，因为ba0，所以二次函数的对称轴为x＝－b2a0，排除B、D.对于A，C，都有0ba1，所以－12－b2a0，C不符合．故选A.【答案】A函数y＝ax的图像主要取决于0a1还是a1.但前提是a0且a≠1.此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是()-6-A．(－1，5)B．(－1，4)C．(0，4)D．(4，0)解析：选A.当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1，5)．命题角度二：指数函数局部图像若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．【解】y＝|2x－1|＝1－2x，x0，2x－1，x≥0，图像如图：由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，需02a1，即0a12.指数函数是一种基本初等函数，与其他函数一起可以衍生出很多函数，体现了指数函数图像的“原料”作用．此题目考查图像变换，同时要注意指数函数中的“渐近线”对交点个数的影响．函数y＝a|x|(a1)的图像是()解析：选B.函数y＝a|x|是偶函数，当x0时，y＝ax.由已知a1，故选B.1．下列各函数中，是指数函数的是()-7-A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1D．y＝13x答案：D2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A．a0，且a≠1B．a≥0，且a≠1C．a12，且a≠1D．a≥12答案：C3．函数y＝3－x2的值域是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0]C．(0，1]D．[－1，0)答案：C4．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0答案：D5．函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3，0]B．(－3，1]C．(－∞，－3)∪(－3，0]D．(－∞，－3)∪(－3，1]解析：选A.由题意，自变量x应满足1－2x≥0，x＋30，解得－3x≤0.[A基础达标]1．下列函数中，指数函数的个数为()-8-①y＝12x－1；②y＝ax(a0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝122x－1.A．0B．1C．3D．4解析：选B.由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝2x－1的定义域是()A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选C.由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图像一定过点()A．(0，1)B．(0，－1)C．(－1，0)D．(1，0)解析：选C.当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图像必过点(－1，0)．4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图像大致是()解析：选A.因为g(x)＝－x＋a的斜率为－1，所以g(x)＝－x＋a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图像大致为选项A.5．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则()A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1，b＞1D．0＜a＜1，0＜b＜1解析：选C.由图像知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1.6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________．解析：由指数函数的定义得a2－2a＋2＝1，a＋1＞0，a＋1≠1，解得a＝1.-9-答案：17．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．解析：由已知得a－1＋b＝5，a0＋b＝4，解得a＝12，b＝3，所以f(x)＝12x＋3，所以f(－2)＝12－2＋3＝4＋3＝7.答案：78．若函数f(x)＝2x，x＜0，－2－x，x＞0，则函数f(x)的值域是________．解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，所以－x＜0，0＜2－x＜1，所以－1＜－2－x＜0.所以函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．答案：(－1，0)∪(0，1)9．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－1；(2)y＝132x2－2.解：(1)要使y＝21x－1有意义，需x≠0，则21x＞0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠0}，函数y＝21x－1的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y＝132x2－2的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜132x2－2≤9，所以函数y＝132x2－2的值域为(0，9]．10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点2，12，其中a＞0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．解：(1)函数图像经过点2，12，所以a2－1＝12，则a＝12.(2)由(1)知f(x)＝12x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜12x－1≤12－1＝2，所以函数的值域为(0，2]．[B能力提升]11．函数y＝16－4x的值域是()-10-A．[0，＋∞)B．[0，4]C．[0，4)D．(0，4)解析：选C.要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函数y＝16－4x的值域为[0，4)．12．函数y＝2x－1x－1的定义域、值域分别是()A．R，(0，＋∞)B．{x|x≠0}，{y|y＞－1}C．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1}D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0}解析：选C.要使y＝2x－1x－1有意义，只需x－1x有意义，即x≠0.若令u＝x－1x＝1－1x，则可知u≠1，所以y≠21－1＝1.又因为y＝2x－1x－1＞0－1＝－1，所以函数y＝2x－1x－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1}．13．已知函数f(x)＝13|x|－1.(1)作出f(x)的简图