2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.3 对数函数的性质

-1-第2课时对数函数的性质与图像的应用考点学习目标核心素养对数函数的概念进一步加深理解对数函数的概念数学运算对数函数的性质掌握对数函数的性质及其应用逻辑推理、数学运算对数值的大小比较比较下列各组中两个值的大小．(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.【解】(1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)法一：因为0＞log0.23＞log0.24，所以1log0.23＜1log0.24，即log30.2＜log40.2.法二：如图所示．由图可知log40.2＞log30.2.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性．-2-(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析：选D.利用对数函数的性质求解．a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，由对数函数的性质可知log52＜log32，所以b＜a＜c，故选D.2．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b解析：选B.a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.对数函数单调性的应用求函数y＝log12(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．【解】要使y＝log12(1－x2)有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，即－1＜x＜1，因此函数y＝log12(1－x2)的定义域为(－1，1)．令t＝1－x2，x∈(－1，1)．当x∈(－1，0]时，若x增大，则t增大，y＝log12t减小，所以x∈(－1，0]时，y＝log12(1－x2)是减函数；同理当x∈[0，1)时，y＝log12(1－x2)是增函数．故函数y＝log12(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log12(1－02)＝0.-3-(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定要树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2]B．[0，2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选D.f(x)≤2⇔x≤1，21－x≤2或x＞1，1－log2x≤2⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.与对数函数有关的值域与最值问题求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log12(3＋2x－x2)．【解】(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2.所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u0，所以0u≤4.又y＝log12u在(0，＋∞)上为减函数，所以log12u≥log124＝－2，所以y＝log12(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．求对数型函数值域(最值)的方法对于形如y＝logaf(x)(a0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数．(2)求f(x)的定义域．(3)求u的取值范围．-4-(4)利用y＝logau的单调性求解．(2019·厦门检测)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．解析：当0a1时，因为y＝ax在[0，1]上为减函数，y＝loga(x＋1)在[0，1]上也是减函数，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝12；同理，当a1时，f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝12，与a1矛盾．综上，a＝12.答案：12对数函数性质的综合应用已知函数f(x)＝logax＋1x－1(a＞0且a≠1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．【解】(1)要使此函数有意义，则有x＋1＞0，x－1＞0或x＋1＜0，x－1＜0.解得x＞1或x＜－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)f(－x)＝loga－x＋1－x－1＝logax－1x＋1＝－logax＋1x－1＝－f(x)．又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)为奇函数．-5-f(x)＝logax＋1x－1＝loga(1＋2x－1)，函数u＝1＋2x－1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．所以当a＞1时，f(x)＝logax＋1x－1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0＜a＜1时，f(x)＝logax＋1x－1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．(2)求函数的单调区间有两种思路：①易得到单调区间的，可用定义法来求证；②利用复合函数的单调性求得单调区间．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．解：(1)因为f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，所以h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．函数h(x)为奇函数，理由如下：因为h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，所以h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，所以h(x)为奇函数．(2)因为f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，所以a＝2.所以h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，所以h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，所以1＋x＜1－x，1＋x＞0，1－x＞0，解之得－1＜x＜0.所以使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}．1．函数y＝lnx的单调递增区间是()A．[e，＋∞)B．(0，＋∞)-6-C．(－∞，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选B.函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞)．2．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c解析：选D.因为1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，所以1＞a＝log54＞log53＞(log53)2＝b.又因为c＝log45＞log44＝1.所以c＞a＞b.3．函数f(x)＝log12（x－1）的定义域是()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(1，2]解析：选D.由题意有x－1＞0，log12（x－1）≥0，解得1＜x≤2.4．函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x＜1的值域为________．解析：当x≥1时，log12x≤log121＝0，所以当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．答案：(－∞，2)5．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．答案：－12，＋∞[A基础达标]1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7]B．(2，7]C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选B.因为lg(2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，所以x的取值范围是(2，7]，故选B.2．已知log12m＜log12n＜0，则()A．n＜m＜1B．m＜n＜1-7-C．1＜m＜nD．1＜n＜m解析：选D.因为0＜12＜1，log12m＜log12n＜0，所以m＞n＞1，故选D.3．函数f(x)＝|log12x|的单调递增区间是()A.0，12B．(0，1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选D.f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a＝log45，b＝120，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为()A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析：选D.由题知，a＝log45＞1，b＝120＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a.5．函数f(x)＝lg1x2＋1＋x是()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数解析：选A.f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg1x2＋1－x＋lg1x2＋1＋x＝lg1（x2＋1）－x2＝lg1＝0，所以f(x)为奇函数，故选A.6．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则3－a＞1，a＞1，即1＜a＜2，若f(x)，g(x)均为减函数，则0＜3－a＜1，0＜a＜1无解．综上，a的取值范围是(1，2)．-8-答案：(1，2)7．不等式log13(5＋x)log13(1－x)的解集为________．解析：由5＋x0，1－x0，5＋x1－x，解得－2x1.答案：{x|－2x1}8．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________．解析：因为a＞1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，所以loga(2a)－logaa＝12，即loga2＝12，所以a12＝2，a＝4.答案：49．已知对数函数f(x)的图像过点(4，2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)⇒log2(2x－3)＞log2x⇒2x－3＞0，x＞0，2x－3＞x⇒x＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．设a0且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．解：设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.当x∈R时，t有最小值2.