2020版高考数学大二轮复习 2.1 函数的图象与性质学案 理

-1-第1讲函数的图象与性质考点1函数及其表示1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[例1](1)[2019·安徽宣城八校联考]函数y＝－x2＋2x＋3lgx＋1的定义域为()A．(－1,3]B．(－1,0)∪(0,3]C．[－1,3]D．[－1,0)∪(0,3](2)[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝2－x，x≤01，x＞0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)【解析】(1)由已知可得－x2＋2x＋3≥0x＋10x＋1≠1，解得x∈(－1,0)∪(0,3]．故选B.(2)方法1：①当x＋1≤02x≤0，即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当x＋1≤02x＞0时，不等式组无解．③当x＋1＞02x≤0，即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0，因此不等式的解集为(－1,0)．④当x＋1＞02x＞0，即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．-2-综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．故选D.方法2：∵f(x)＝2－x，x≤01，x＞0，∴函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D.【答案】(1)B(2)D(1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．⑤奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断.『对接训练』1．[2019·甘肃兰州期中]已知A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，可以建立以A为定义域，B为值-3-域的函数的个数是()A．4B．5C．6D．8解析：从A到B可以建立的映射共有23＝8(个)，所以可以建立的以A为定义域，B为值域的函数共有8－2＝6(个)，故选C.答案：C2．[2019·广东华南师大附中月考]已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数g(x)＝f2x－1ln1－x的定义域是()A．[0,1]B．(0,1)C．[0,1)D．(0,1]解析：由题意，函数f(x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，又g(x)满足1－x0且1－x≠1，解得x1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0,1)，故选B.答案：B考点2函数图象1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．识别函数图象的方法基本方法有：(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象)；(2)特例排除法(其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点)；(3)性质验证法．[例2](1)[2019·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()(2)[2019·河南汝州模拟]已知函数y＝f(1－x)的图象如图所示，则y＝f(1＋x)的图象为()-4-【解析】(1)本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．∵f(－x)＝sin－x－xcos－x＋－x2＝－sinx＋xcosx＋x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝sinπ＋πcosπ＋π2＝π－1＋π20，∴排除C；∵f(1)＝sin1＋1cos1＋1，且sin1cos1，∴f(1)1，∴排除B.故选D.(2)因为y＝f(1－x)的图象过点(1，a)，所以f(0)＝a.所以y＝f(1＋x)的图象过点(－1，a)．故选B.【答案】(1)D(2)B作图、识图、用图的方法技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.-5-『对接训练』3．[2019·全国卷Ⅲ]函数y＝2x32x＋2－x在[－6,6]的图象大致为()解析：本题主要考查函数图象与性质的应用，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．因为f(x)＝2x32x＋2－x，所以f(－x)＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝2x32x＋2－x为奇函数，排除C；当x0时，f(x)＝2x32x＋2－x0恒成立，排除D；因为f(4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.答案：B4．[2019·甘肃兰州模拟]若函数f(x)＝ax＋b，x－1，lnx＋a，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)＝()A．－12B．－54C．－1D．－2解析：由题图可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5，x－1，lnx＋2，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.故选C.答案：C-6-考点3函数性质的综合应用函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[例3](1)[2019·全国卷Ⅲ]设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314f2－32f2－23B．flog314f2－23f2－32C．f2－32f2－23flog314D．f2－23f2－32flog314(2)[2019·江西九江模拟]已知函数f(x)满足：①对任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，f(x＋4)＋f(－x)＝0成立；②当x∈(0,2]时，f(x)＝x(x－2)，则f(2019)＝()A．1B．0C．2D．－1【解析】(1)本题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象．根据函数f(x)为偶函数可知，flog314＝f(－log34)＝f(log34)，因为02－322－2320log34，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2－32)f(2－23)flog314.(2)∵f(x)＋f(－x)＝0，∴函数f(x)是奇函数，∵f(x＋4)＋f(－x)＝0，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)是以4为周期的函数，∴f(2019)＝f(－1＋505×4)＝f(－1)＝－f(1)＝1.故选A.-7-【答案】(1)C(2)A(1)判断函数奇偶性的3个技巧①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．②确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．③对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(2)周期性的3个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x；①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；②若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a.(a0)(3)与函数对称性有关的3条结论①函数y＝f(x)关于x＝a＋b2对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)；特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)；②函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)；③y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称.『对接训练』5．[2019·辽宁鞍山一中三模]奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝()A．－2B．－1C．0D．1解析：因为f(x＋1)为偶函数，f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(2019)＝f(504×5－1)＝f(－1)＝－1，故f(2018)＋f(2019)＝0－1＝－1，故选B.-8-答案：B考点4新定义下的函数[交汇创新]新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．[例4]在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝13x；④φ(x)＝lnx.其中是一阶整点函数的是()A．①②③④B．①③④C．①④D．④【解析】对于函数f(x)＝sin2x，它的图象只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)＝13x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.【答案】C本题意在考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定