2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题1 三角函数和解三角形 第2讲 恒等变换与解三角形教案 理

-1-第2讲恒等变换与解三角形[做小题——激活思维]1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1B[根据asinA＝bsinB，有313＝5sinB，得sinB＝59.故选B.]2．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3C[由a2＝b2＋bc＋c2，得b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理的推论得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝2π3.]3．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α为第二象限角，则tanα＋π4＝()A．7B．17C．－7D．－17B[sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝－[cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ]＝－cos(α－β＋β)＝－cosα＝45，即cosα＝－45.又α为第二象限角，∴tanα＝－34，-2-∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17.]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，C＝π3，△ABC的面积为334，则c＝()A．13B．33C．7D．13C[∵△ABC的面积为334，∴12absinC＝12×3×b×32＝334，∴b＝1，∴由余弦定理得c＝a2＋b2－2abcosC＝32＋12－2×3×1×12＝7.故选C.]5．已知tanα＝－13，则sin2α－cos2α1＋cos2α＝________.－56[sin2α－cos2α1＋cos2α＝2sinαcosα－cos2α1＋2cos2α－1＝2sinαcosα－cos2α2cos2α＝tanα－12＝－56.]6．函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为________．π[∵y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin2x＋π6＋12，∴函数的最小正周期T＝2π2＝π.][扣要点——查缺补漏]1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，如T1.2．余弦定理及其变形a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc，如T2.3．如图所示，在△ABC中，AD平分角A，则ABAC＝BDDC.-3-4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanα1∓tanαtanβ，如T3.5．面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝12(a＋b＋c)·r(其中r为△ABC内切圆的半径)，如T4.6．二倍角公式及其变形(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.如T5.7．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2，如T6.三角恒等变换(5年3考)[高考解读]高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D．－725D[法一：(公式法)cosπ4－α＝35，sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝－725，故选D.-4-法二：(整体代入法)由cosπ4－α＝22(sinα＋cosα)＝35，得sinα＋cosα＝352，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1825，即sin2α＝2sinαcosα＝－725.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.－12[∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.]2．[一题多解](2014·全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2B[法一：由tanα＝1＋sinβcosβ得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α.∵α∈0，π2，β∈0，π2，-5-∴α－β∈－π2，π2，π2－α∈0，π2，∴由sin(α－β)＝sinπ2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.法二：tanα＝1＋sinβcosβ＝1＋cosπ2－βsinπ2－β＝2cos2π4－β22sinπ4－β2cosπ4－β2＝cotπ4－β2＝tanπ2－π4－β2＝tanπ4＋β2，∴α＝kπ＋π4＋β2，k∈Z，∴2α－β＝2kπ＋π2，k∈Z.当k＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.]三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分；(2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一．1．(给值求值)若α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝()A.2525B.255C.2525或255D.55或525A[因为α，β都是锐角，且cosα＝55＜12，所以π3＜α＜π2，又sin(α＋β)＝35＞-6-12，所以π2＜α＋β＜5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin2＝－45，sinα＝1－cos2α＝255，cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝2525，故选A.]2．(给角求值)(2019·安阳模拟)化简sin235°－12cos10°cos80°等于()A．－2B．－12C．－1D．1C[sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－cos70°sin20°＝－1.]3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255，则α＋2β的值为________．3π4[∵cosα＝210，α∈0，π2，∴sinα＝7210，∴tanα＝7；cosβ＝255，β∈0，π2，∴sinβ＝55，∴tanβ＝12，∴tan2β＝2tanβ1－tan2β＝43，∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1，∵α∈0，π2，β∈0，π2，-7-∴α＋2β∈0，3π2，∴α＋2β＝3π4.]利用正、余弦定理解三角形(5年11考)[高考解读]高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正余弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查.1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6C[根据题意及三角形的面积公式知12absinC＝a2＋b2－c24，所以sinC＝a2＋b2－c22ab＝cosC，所以在△ABC中，C＝π4.]2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．切入点：△ABC面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.关键点：余弦定理公式的变形：a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA.[解](1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.-8-由题意得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.[教师备选题]1．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为____________．63[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.]2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.[解](1)在△ABD中，由正弦定理得BDsinA＝ABsin∠ADB.由题设知，5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.-9-即BC＝5.用正、余弦定理求解三角形注意2点,分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质三角形内角和，大边对大角等求解三角形.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝b＋c2－2bc经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1．(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝()A.5B.6C.7D．22C[如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7.故选C.]2．(知识间的内在联系)已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S＝a2－(b－c)2，bc＝4，则S＝()A．2B．4C.3D．23A[由4S＝a2－(b－c)2可得4