2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题6 函数、导数和不等式 第1讲 函数的图象与性质、函数与方

-1-第1讲函数的图象与性质、函数与方程[做小题——激活思维]1．函数f(x)＝1lgx＋2－x的定义域为()A．(0,2]B．(0,2)C．(0,1)∪(1,2]D．(－∞，2]C[由lgx≠0，x＞0，2－x≥0，得0＜x≤2且x≠1，故选C.]2．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是()A.－12，0B.1，12C.12，1D.1，32C[因为f12＝e12－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间12，1上，故选C.]3．[一题多解](2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a＞0且a≠1)的图象可能是()ABCD-2-D[法一：若0＜a＜1，则函数y＝1ax是增函数，y＝logax＋12是减函数且其图象过点12，0，结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝1ax是减函数，而y＝logax＋12是增函数且其图象过点12，0结合选项可知，没有符合的图象．故选D.法二：分别取a＝12和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.]4．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝－x3B．y＝－x2＋1C．y＝2xD．y＝log2|x|B[因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.]5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(2020)＝________.0[f(2020)＝f(505×4)＝f(0)．又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，故f(2020)＝0.]6．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于________．10[由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.][扣要点——查缺补漏]1．函数的定义域，如T1.(1)分母不为0；(2)对数的真数大于0；(3)被开方数有意义．2．零点所在的区间的判定方式f(x)在[a，b]上是连续函数且f(a)f(b)＜0.必要时借助导数研究其性质，如T2.3.指数、对数函数(1)图象，如T3.(2)指对互化与对数运算，如T6.-3-①ax＝N⇔x＝logaN，②logab·logba＝1(a，b＞0且均不为1)，③logambn＝nmlogab，④logaM＋logaN＝loga(MN)(M＞0，N＞0)，⑤logaM－logaN＝logaMN(M＞0，N＞0)．4．奇偶性、单调性，如T4.(1)定义法：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.故f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．5．函数的周期性，如T5.(1)若f(x＋a)＝f(x)，则周期T＝a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则周期T＝2a，其中a≠0.函数的表示、图象及应用(5年9考)[高考解读]对函数的表示常以分段函数为载体，考查分类讨论及函数方程的思想，对函数图象的识别常将基本初等函数与导数融合在一起，考查学生灵活应用知识，分析函数图象及性质的能力.1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1xD[函数y＝10lgx的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]-4-2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()ABCDD[因为f(－x)＝sinxxcosxx2＝－sinx＋xcosx＋x2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A.令x＝π，则f(x)＝sinπ＋πcosπ＋π2＝π－1＋π2＞0，排除选项B，C.故选D.][点评]知式选图：已知函数解析式选图象，一般选用函数的两三个性质.常用性质：1°定→定点、定义域.2°奇→奇偶性.3°极→极值点个数.4°零→零点个数.5°渐→渐近线.6°趋→函数值变化趋势.7°单→单调性.8°符→函数值符号.3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)切入点：思路一：结合分段函数的定义，分类求解；思路二：图解法，借助单调性求解．D[当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，-5-结合图象可知，要使f(x＋1)f(2x)，则需x＋10，2x0，2xx＋1或x＋1≥0，2x0，所以x0，故选D.][教师备选题]1．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()D[利用导数研究函数y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，利用排除法求解．∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6,6]的图象大致为()B[因为f(x)＝2x32x＋2－x，所以f(－x)＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝2x32x＋2－x-6-为奇函数，排除C；当x＞0时，f(x)＝2x32x＋2－x＞0恒成立，排除D；因为f(4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.]函数的表示、图象及应用的关注点(1)研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．(2)分段函数的求值、解不等式等问题，应遵循“分段处理”的原则．(3)函数图象的识别可遵循“对称性、零点、极值点、极限位置”逐一排除的策略．1．(函数图象的识别)已知函数f(x)＝1lnx＋1x，则y＝f(x)的大致图象为()ABCDB[f(2)＝1ln3－2＜0，排除A，D.f－12＝1ln12＋12＝1lne2＜0，排除C，选B.]2．(分段函数求值)设f(x)＝x，0x1，2x－1x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8C[当0a1时，a＋1＞1，f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2a，解得a＝14或a＝0(舍去)．∴f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f1a＝6.]3．[重视题](函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2-7-－4x＋1|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，则∑ni＝1)，故选B.]