2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题4 立体几何 第1讲 空间几何体的表面积、体积及有关量的计

-1-第1讲空间几何体的表面积、体积及有关量的计算[做小题——激活思维]1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A.163πB.323πC．16πD．24πB[设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为43πR3＝323π.]2．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱A1B1运动到点C1，则点P运动的最短路程为()A．5B.31C．42D．6B[将三棱柱展开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内，C1D⊥AB交A1B1于Q，则C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝32，两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，因为C1Q＝A1C1×sin60°＝3×32＝32，所以C1D＝32＋4＝112，AD＝32，所以AC1＝AD2＋C1D2＝322＋1122＝31.]3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________，体积为________．28π16π＋833π[由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径-2-为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22232＝4，S表＝πr2＋ch＋12cl＝4π＋16π＋8π＝28π.V＝V柱＋V锥＝16π＋833π.]4．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为________．1[在正三棱柱ABC­A1B1C1中，∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1.∴VA­B1DC1＝13S△B1DC1·AD＝13×12×2×3×3＝1.]5．已知一个圆台的下底面半径为3，高为2，当圆台的上底面半径r′变化时，圆台体积的变化范围是________．(6π，18π)[V圆台＝13π(r2＋rr′＋r′2)h,0＜r′＜3.当上底面面积为0时，圆台变为圆锥，V圆锥＝13πr2h＝6π；当r′＝3时，圆台变为圆柱，V圆柱＝πr2h＝18π.所以圆台体积的变化范围是()6π，18π.][扣要点——查缺补漏]1．空间几何体的表面积与体积(1)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上，如T4.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.(3)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积，如T3.2．柱、锥、台之间的关系3．多面体与球(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r＝R2－d2.-3-(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长．(3)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为64a，内切球半径为612a.空间几何体的三视图、展开图、截面图(5年2考)[高考解读]重点考查考生的识图能力和空间想象能力、考生对试题的研究必须经历从“识图”、“想图”到“构图”的过程，要通过观察、分析、想象、判断、计算的逻辑思维才能求解，考查了考生的直观想象和逻辑推理的核心素养.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2切入点：圆柱的三视图．关键点：正确还原圆柱体并将侧面展开，找出M，N在侧面展开图中的位置．B[设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM＝2，ON＝4，则从M到N的最短路径为OM2＋ON2＝22＋42＝25.][教师备选题]1．(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()-4-A．1B．2C．3D．4C[由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝22，PC＝3，CD＝5，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C.]2．(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B.2C.3D．2C[根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3.]1．由三视图还原直观图需遵循以下3步(1)看视图明关系；(2)分部分想整体；(3)合起来定整体．2．解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法：把立体图形展为平面图形，利用两点之间线段最短进行求解．-5-1．(由三视图还原几何体)某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面面积的最大值为()A．8B．45C．82D．122D[由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，高为4的四棱锥，如图，其中侧棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝25，PD＝6，PB＝42，连接AC，则AC＝42，所以PC＝43，显然在各侧面面积中△PCD的面积最大，又PD＝CD＝6，所以PC边上的高为62－4322＝26，所以S△PCD＝12×43×26＝122，故该四棱锥的各侧面面积的最大值为122.故选D.]2.(侧面展开图)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为43m，则圆锥底面圆的半径等于________m.43[把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4，PP′＝43，则cos∠POP′＝42＋424322×4×4＝－12，所以∠POP′＝2π3.设底面圆的半径为r，则2πr＝2π3×4，所以r＝43.]3．(截面问题)已知圆锥的底面直径为3，母线长为1，过圆锥的顶点，作圆锥的截面，则截面面积的最大值为________．12[由于圆锥的底面直径为3，母线长为1，设圆锥轴截面的顶角为α，-6-则cosα＝1＋1－32×1×1＝－12.又α∈(0，π)，∴α＝2π3.因此截面面积的最大值为12×1×1×sinπ2＝12.]空间几何体的表面积和体积(5年18考)[高考解读]空间几何体的表面积和体积是每年的必考内容，题型既有选择题也有解答题，以往多与三视图综合考查，由于新课标对三视图不作要求，对表面积和体积的考查也以单一考点的形式出现在高考试题中.角度一：空间几何体的表面积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π切入点：过直线O1O2的平面截该圆柱所得的轴截面是面积为8的正方形．关键点：找出圆柱的底面半径及母线的长．B[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]2．(2016·全国卷Ⅲ)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋365B．54＋185C．90D．81切入点：多面体的三视图．关键点：正确还原几何体．B[由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜四棱柱．由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为32＋62＝35.故该几何体的表面积S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋185.]角度二：空间几何体的体积-7-3．[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π切入点：三视图．关键点：割补法求体积．B[法一(割补法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.法二(估值法)：由题意，知12V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.]4．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.切入点：E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.关键点：正确求出四棱锥的体积．-8-118．8[由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]5.(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E­BB1C1C的体积．切入点：ABCD为正方形，BE⊥EC1.关键点：①线面垂直判定定理的应用；②正确求出四棱锥E­BB1C1C的高．[解](1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E­BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.[教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15D[由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余-9-的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15，故选D.]2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P­ABCD的体积．[解](1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)如图，取AD的中