2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题5 解析几何 第1讲 直线与圆教案 文

-1-第1讲直线与圆[做小题——激活思维]1．已知点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为________．[答案](1,0)或(6,0)2．若直线l过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是________．[答案]3x－2y＝0或x＋y－5＝03．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．x2＋y2－10y＝0[设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.]4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为________．[答案](1,2)或(2，－1)5．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是________．[答案]x－322＋y－322＝16．已知圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0，则两圆的公共弦长为________．[答案]22[扣要点——查缺补漏]1．直线的方程(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯．(2)求直线方程时应根据条件选择适合的方程形式利用特定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．如T1，T2.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意-2-代入检验，排除两条直线重合的可能性．2．圆的方程(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程．如T3.圆的方程及应用(5年3考)[高考解读]高考对圆的方程求法的单独考查很少，多考查直线与圆的位置关系及其应用.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．切入点：①过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点；②|AB|＝8.关键点：根据抛物线的定义进行转化求解．[解](1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx－1y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.-3-设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16.解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.[教师备选题]1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[利用两点间的距离公式求圆的半径，从而写出方程．圆的半径r＝1－021－02＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]2．[一题多解](2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．x2＋y2－2x＝0[法一：易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件可得F＝0，12＋12＋D＋E＋F＝0，22＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]3．(2015·湖北高考)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)－2－1[(1)结合图形，确定圆C的圆心坐标和半径，-4-从而写出圆的标准方程．取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB.由题意|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝|CD|2＋|AD|2＝2，即圆C的半径为2.又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C的坐标为(1，2)，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)如图，先求出点B的坐标，进而求出圆C在点B处的切线方程，再求切线在x轴上的截距．令(x－1)2＋(y－2)2＝2中的x＝0，解得y＝2±1，故B(0，2＋1)．直线BC的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋2＋1.令y＝0，解得x＝－2－1，故所求截距为－2－1.]常见的求圆的方程的方法利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，从而写出圆的标准方程.利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长，则常用标准方程求解；若所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，则常用一般方程求解.1．(由圆的方程求参数)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B.－23，0C．(－2,0)D.－2，23D[若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，化简得3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜23.]2．(求圆的标准方程)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程为________．(x－2)2＋(y－1)2＝1[∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，∴圆心的纵坐标是1，设圆心坐标为(a,1)(a＞0)，则1＝|4a－3|5，∴a＝2，故该-5-圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]3．(与平面向量的交汇问题)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且OA→·OB→＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径r＝________.7[圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a＜1)，圆心M(1,0)，则|OM|＝1，圆的半径r＝1－a，因为AB为圆M的任意一条直径，所以MA→＝－MB→，且|MA→|＝|MB→|＝r，则OA→·OB→＝(OM→＋MA→)·(OM→＋MB→)＝(OM→－MB→)·(OM→＋MB→)＝OM→2－MB→2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝7，所以圆的半径为7.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年8考)[高考解读]高考对圆的考查以直线与圆的位置关系、弦长问题为主，题型灵活，难度中等，对于切线及圆与圆的位置关系的考查较少.角度一：与圆有关的距离问题1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]切入点：①直线x＋y＋2＝0与x轴、y轴交于A，B两点；②点P在圆(x－2)2＋y2＝2上．关键点：①求出|AB|；②求出点P到直线x＋y＋2＝0的距离的范围．A[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝2.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．2切入点：①圆的方程；②圆心到直线的距离．关键点：正确求出圆心坐标．-6-A[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，由圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1可知|a＋4－1|a2＋12＝1，解得a＝－43，故选A.]角度二：弦长问题3．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.切入点：①直线方程；②圆的方程．关键点：正确应用弦长的求法．22[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|1＋1|2＝2，所以|AB|＝22222＝22.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．切入点：①直线和圆的方程；②|AB|＝23.关键点：根据|AB|＝23确定a的值．4π[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2.又|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|2，由勾股定理得2322＋|0－a＋2a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]角度三：直线与圆的综合问题5．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．切入点：曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点．关键点：①计算kAC·kBC＝－1；②确定圆心和半径．[解](1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又点C的坐标为(0,1)，-7-故AC的斜率与BC的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：BC的中点坐标为x22，12，可得BC的中垂线方程为y－12＝x2x－x22.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－m2.联立x＝－m2，y－12＝x2x－x22，又x22＋mx2－2＝0，可得x＝－m2，y＝－12.所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－m2，－12，半径r＝m2＋92.故圆在y轴上截得的弦长为2r2－m22＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．[教师备选题]1．(2014·全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是()A．[－1,1]B.－12，12C．[－2，2]D.－22，22A[如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sinθ≥22，即ONOM≥22.而ON＝1，∴OM≤2.∵M为(x0,1)，∴x20＋1≤2，-8-∴x20≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范围为[－1,1]．]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于