（新课标）2020版高考数学二轮复习 第一部分 基础考点 自主练透 第4讲 不等式与合情推理学案 理

-1-第4讲不等式与合情推理不等式的性质及解法[考法全练]1．已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有()A．ax＞byB．sinax＞sinbyC．logax＞logbyD．ax＞by解析：选D．对于A选项，不妨令x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然58＝ax＜by＝43，A选项错误；对于B选项，不妨令x＝π，y＝π2，a＝2，b＝32，此时sinax＝sin2π＝0，sinby＝sin3π4＝22，显然sinax＜sinby，B选项错误；对于C选项，不妨令x＝5，y＝4，a＝3，b＝2，此时logax＝log35，logby＝log24＝2，显然logax＜logby，C选项错误；对于D选项，因为a＞b＞1，所以当x＞0时，ax＞bx，又x＞y＞0，所以当b＞1时，bx＞by，所以ax＞by，D选项正确．综上，选D．2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|解析：选C．法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证A，B，D错误，只有C正确．法二：由a＞b，得a－b＞0，但a－b＞1不一定成立，则ln(a－b)＞0不一定成立，故A不一定成立．因为y＝3x在R上是增函数，当a＞b时，3a＞3b，故B不成立．因为y＝x3在R上是增函数，当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C成立．因为当a＝3，b＝－6时，a＞b，但|a|＜|b|，所以D不一定成立．故选C．3．设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为()A．(2，3)B．[2，4)-2-C．[2，3]D．(2，3]解析：选B．不等式[x]2－5[x]＋6≤0可化为([x]－2)·([x]－3)≤0，解得2≤[x]≤3，即不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2≤x＜4.故选B．4．已知函数f(x)＝2x，x≤1，ln(x－1)，1＜x≤2，若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，由数形结合得－52≤－m≤0，解得0≤m≤52.答案：0，525．(2019·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤23，则实数a的最大值是________．解析：f(t＋2)－f(t)＝[a(t＋2)3－(t＋2)]－(at3－t)＝2a(3t2＋6t＋4)－2，因为存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤23，所以－23≤2a(3t2＋6t＋4)－2≤23有解．因为3t2＋6t＋4≥1，所以23(3t2＋6t＋4)≤a≤43(3t2＋6t＋4)有解，所以a≤43(3t2＋6t＋4)max＝43，所以a的最大值为43.答案：43(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法①f(x)g(x)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)．②f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)不等式恒成立问题的解题方法-3-①f(x)＞a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max＜a.②f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．③解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式及其应用[考法全练]1．(一题多解)(2019·长沙模拟)若a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：选B．法一：由于a＋b＝ab≤(a＋b)24，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．法二：由题意，得1a＋1b＝1，所以a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．法三：由题意知a＝bb－1(b＞1)，所以a＋b＝bb－1＋b＝2＋b－1＋1b－1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．2．已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都为正实数．若a⊥b，则1x＋13y的最小值为()A．2B．22C．4D．23解析：选C．因为a⊥b，所以a·b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y为正实数，所以1x＋13y＝(x＋3y)·1x＋13y＝2＋3yx＋x3y≥2＋23yx·x3y＝4，当且仅当x＝3y＝12时取等号．所以1x＋13y的最小值为4.故选C．3．(2019·高考天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为________．解析：因为x＞0，y＞0，所以xy＞0.因为x＋2y＝5，所以(x＋1)(2y＋1)xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋6xy＝2xy＋6xy≥212＝-4-43.当且仅当2xy＝6xy时取等号．所以(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为43.答案：434．(2019·洛阳模拟)已知x＞0，y＞0，且1x＋2y＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．解析：因为1x＋2y＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋2y)1x＋2y＝7＋6xy＋2yx，且x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥7＋43，所以xy＋x＋y的最小值为7＋43.答案：7＋435．已知a＞b＞0，则a＋4a＋b＋1a－b的最小值为________．解析：因为a＞b＞0，所以a＋4a＋b＋1a－b＝12a＋b＋8a＋b＋a－b＋2a－b≥(a＋b)·8a＋b＋(a－b)·2a－b＝22＋2＝32，当且仅当a＝322，b＝22时等号成立．答案：32利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值．即化为y＝m＋Ag(x)＋Bg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．[提醒](1)基本不等式a＋b≥2ab成立的条件是a＞0，b＞0，而不等式a2＋b2≥2ab对任意实数a，b都成立，因此在使用时要注意其前提条件．(2)对多次使用基本不等式时，需考虑等号是不是能同时成立．-5-(3)对于含有x＋ax(a＞0)的不等式，不能简单地利用x＋ax≥2a，而是要根据x的取值范围判断能否取到最小值2a，若不能，需要利用函数的单调性求其最小值．线性规划问题[考法全练]1．(2019·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，x≥－1，y≥－1，则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A．2B．3C．5D．6解析：选C．由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．因为z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，所以作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1，1)时，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C．2．(2019·江西八所重点中学联考)已知实数x，y满足x－y＋1≥0x＋y－1≥0x≤3，则z＝x＋y＋4x＋1的最小值是()A．14B．2C．54D．－2解析：选C．作出不等式组x－y＋1≥0x＋y－1≥0x≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y＋4x＋1＝1＋y＋3x＋1，其中y＋3x＋1表示点P(－1，－3)和点(x，y)的连线的斜率．结合图象得目标函数z＝1＋y＋3x＋1在点A处取得最小值，由x＋y－1＝0x＝3，得x＝3y＝－2，即A(3，－2)，所以-6-目标函数z的最小值为1＋－2＋33＋1＝54，故选C．3．(2019·洛阳市统考)如果点P(x，y)满足2x－y＋2≥0x－2y＋1≤0x＋y－2≤0，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的取值范围是()A．[5－1，10－1]B．[5－1，10＋1]C．[10－1，5]D．[5－1，5]解析：选D．作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为5，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是[5－1，5]，故选D．4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为()A．1800元B．2100元C．2400元D．2700元解析：选C．设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有2x＋2y≤12，3x＋y≤12，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*，-7-z＝300x＋400y.作出2x＋2y≤12，3x＋y≤12，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*所表示的可行域，为图中阴影部分中的整点，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0，6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2400，故选C．5．(2019·广州市综合检测(一))已知关于x，y的不等式组2x－y＋1≥0x＋m≤0y＋2≥0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．解析：作出不等式组2x－y＋1≥0x＋m≤0y＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2x－y＋1＝0y＝－2可得x＝－32y＝－2，故A－32，－2，所以－m≥－32，解得m≤32.作出直线x－2y＝2，由2x－y＋1＝0x－2y－2＝0可得x＝－43y＝－53，即B－43，－53，因为存在点P(x0，y0)，使得x0－2y0－2＝0，即直线x－2y－2＝0与平面区域有交点，则需满足－m≥－43，所以m≤43，所以m的取值范围是－∞，43.答案：－∞，43-8-6．(2019·湖南省湘东六校联考)若变量x，y满足3x－y－1≥03x＋y－11≤0y≥2，且z＝ax－y的最小值为－1，则实数a的值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a≥3，则直线z＝ax－y经过点B(1，2)时，z取得最小值，由a－2＝－1，得a＝1，与a≥3矛盾；若0＜a＜3，则直线z＝ax－y经过点A(2，5)时，z取得最小值，由2a－5＝－1，解得a＝2；若a≤0，则直线z＝ax－y经过点A(2，5)或C(3，2)时，z取得最小值，此时2a－5＝－1或3a－2＝－1，解得a＝2或a＝13，与a≤0矛盾．综上可知实数a的值为2.答案：2常见的3种目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by，