（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题二 数列 第1讲 等差数列与等比数列学案 理 新人教A版

-1-第1讲等差数列与等比数列[做真题]题型一等差数列1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n解析：选A．法一：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝0，a5＝5，所以4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋n(n－1)2d＝n2－4n.故选A．法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝0，a5＝5，所以4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2.选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝12－2＝－32，排除D．故选A．2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12-2-解析：选B．设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋3×22d)＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，解得d＝－32a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．3．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：选A．设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，则d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6项的和S6＝1－92×6＝－24，故选A．4．(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以S10S5＝10a1＋10×92d5a1＋5×42d＝10a1＋10×92×2a15a1＋5×42×2a1＝10025＝4.答案：4题型二等比数列1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2解析：选C．设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.2．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：选B．每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，-3-公比q＝2，依题意，得S7＝a1(1－27)1－2＝381，解得a1＝3，故选B．3．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________．解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝13×(1－35)1－3＝1213.优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：12134．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－(－2)n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.题型三等差、等比数列的判定与证明(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．-4-由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2n－1.所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋n－12，bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n＋12.[明考情]等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题．等差、等比数列的基本运算[典型例题](1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S10S5＝3332，则数列{an}的公比q为()A．4B．2C．12D．34(2)(2019·开封模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.①若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；②若T3＝13，求Sn.【解】(1)选C．因为S10S5＝3332≠2，所以q≠1.所以S10S5＝a1(1－q10)1－qa1(1－q5)1－q＝1＋q5，所以1＋q5＝3332，所以q＝12.(2)①设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，(*)-5-由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，(**)联立(*)(**)，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.②因为T3＝1＋q＋q2，所以1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3，得d＝4－q，所以d＝1或d＝8.由Sn＝na1＋12n(n－1)d，得Sn＝12n2－32n或Sn＝4n2－5n.等差、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．[对点训练]1．(一题多题)(2019·沈阳市质量监测(一))已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝()A．2B．32C．3D．4解析：选C．法一：依题意，5×12＋5×42d＝90，解得d＝3，故选C．法二：因为等差数列{an}中，S5＝90，所以5a3＝90，即a3＝18，因为a1＝12，所以2d＝a3－a1＝18－12＝6，所以d＝3，故选C．2．(一题多题)(2019·福州市质量检测)等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝()A．32B．31C．64D．63解析：选B．通解：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由条件得a1·q2＝4a1q·a1q5＝64，解-6-得a1＝1q＝2，所以S5＝31，故选B．优解：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由a2a6＝a24＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故选B．3．(2019·武昌区调研考试)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为________．解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为{an}是等差数列，S1，S2，S4成等比数列，所以(a1＋a2)2＝a1(a1＋a2＋a3＋a4)，因为a3＝5，所以(5－2d＋5－d)2＝(5－2d)(5－2d＋15)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以5＝a1＋(3－1)×2，即a1＝1，所以an＝2n－1.答案：an＝2n－1等差(比)数列的性质[典型例题](1)(2019·贵州省适应性考试)等差数列{an}中，a2与a4是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．6B．8C．10D．12(2)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A．－2＋22B．－2C．2D．－2或2(3)(2019·长春质量检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，则λ＝()A．13B．12C．2D．3【解析】(1)根据题意有a2＋a4＝4，在等差数列{an}中，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3＝4⇒a3＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝10.故选C．(2)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以a30，a150，则a9＝－2，所以a2a16a9＝a29a9＝a9＝－2，故选B．(3)因为Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，所以由等差数列的性质得：S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，-7-所以2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，所以2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，解得λ＝2.【答案】(1)C(2)B(3)C等差、等比数列性质问题的求解策略抓关系抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解用性质数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题[对点训练]1．(一题多解)(2019·福建省质量检查)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33＝()A．82B．97C．100D．115解析：选C．通解：设等差数列{an}的公差为d，则由a8－a5＝9，S8－S5＝66，得(a1＋7d)－(a1＋4d)＝9，(8a1＋28d)－(5a1＋10d)＝66，解得d＝3，a1＝4，所以a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100，故选C．优解：设等差数列{an}的公差为d，由a8－a5＝9，得3d＝9，即d＝3.由S8－S5＝66，得a6＋a7＋a8＝66，结合等差数列的性质知3a7＝66，即a7＝22，所以a33＝a7＋(33－7)×d＝22＋26×3＝100，故选C．2．(一题多解)(2019·广东省七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值