（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题七 选考部分 第2讲 不等式选讲学案 理 新人教A版

-1-第2讲不等式选讲[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33(a＋b)3(b＋c)3(a＋c)3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)0，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x1时，f(x)＝－2(x－1)20；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．3．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3或a≥－1.解：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]-2-≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43，当且仅当x＝53，y＝－13，z＝－13时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥(2＋a)23，当且仅当x＝4－a3，y＝1－a3，z＝2a－23时等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为(2＋a)23.由题设知(2＋a)23≥13，解得a≤－3或a≥－1.[明考情]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．含绝对值不等式的解法[典型例题](2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1＜x≤2，－2x＋6，x＞2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.-3-而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|a⇔－axa，|x|a⇔x－a或xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[对点训练]1．(2019·广州市调研测试)已知函数f(x)＝13|x－a|(a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式|x－13|＋f(x)≥1；(2)设不等式|x－13|＋f(x)≤x的解集为M，若[13，12]⊆M，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，①当x≤13时，不等式可化为1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；②当13x2时，不等式可化为3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x2；③当x≥2时，不等式可化为3x－1＋x－2≥3，解得x≥32，所以x≥2.综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．(2)不等式|x－13|＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，依题意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在x∈[13，12]上恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，即a－1≤x≤a＋1，所以a－1≤13a＋1≥12，解得－12≤a≤43，故实数a的取值范围是[－12，43]．2．(2019·长春市质量监测(二))设函数f(x)＝|x＋2|.-4-(1)求不等式f(x)＋f(－x)≥6的解集；(2)若不等式f(x－4)－f(x＋1)kx＋m的解集为(－∞，＋∞)，求k＋m的取值范围．解：(1)f(x)＋f(－x)＝|x＋2|＋|－x＋2|＝－2x(x－2)4(－2≤x≤2)，2x(x2)当x－2时，－2x≥6，所以x≤－3；当－2≤x≤2时，4≥6不成立，所以无解；当x2时，2x≥6，所以x≥3.综上，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)令g(x)＝f(x－4)－f(x＋1)＝|x－2|－|x＋3|＝5(x－3)－2x－1(－3≤x≤2)，－5(x2)作出g(x)的图象，如图．由f(x－4)－f(x＋1)kx＋m的解集为(－∞，＋∞)，结合图象可知k＝0，m－5，所以k＋m－5，即k＋m的取值范围是(－∞，－5)．不等式的证明[典型例题](2019·成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋2m|的最大值为3，其中m0.(1)求m的值；(2)若a，b∈R，ab0，a2＋b2＝m2，求证：a3b＋b3a≥1.【解】(1)因为m0，所以f(x)＝|x－m|－|x＋2m|＝－3m，x≥m－2x－m，－2mxm，3m，x≤－2m所以当x≤－2m时，f(x)取得最大值3m，所以3m＝3，所以m＝1.(2)证明：由(1)，得a2＋b2＝1，-5-a3b＋b3a＝a4＋b4ab＝(a2＋b2)2－2a2b2ab＝1ab－2ab.因为a2＋b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以0ab≤12.设t＝ab，令h(t)＝1t－2t，0t≤12，则h(t)在(0，12]上单调递减，所以h(t)≥h(12)＝1.所以当0ab≤12时，1ab－2ab≥1.所以a3b＋b3a≥1.证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等．(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的．(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾．[对点训练]1．已知函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)f(a)－f(－b)．解：(1)由题意，|x＋1||2x＋1|－1，①当x≤－1时，不等式可化为－x－1－2x－2，解得x－1；②当－1x－12时，不等式可化为x＋1－2x－2，此时不等式无解；-6-③当x≥－12时，不等式可化为x＋12x，解得x1.综上，M＝{x|x－1或x1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，所以要证f(ab)f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1||a＋b|，即证|ab＋1|2|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋10，即证(a2－1)(b2－1)0.因为a，b∈M，所以a21，b21，所以(a2－1)(b2－1)0成立，所以原不等式成立．2．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|，且g(x)的值域为M，若t∈M，证明t2＋1≥3t＋3t.解：(1)依题意，得f(x)＝－3x，x≤－1，2－x，－1x12，3x，x≥12，所以f(x)≤3⇔x≤－1，－3x≤3或－1x12，2－x≤3或x≥12，3x≤3，解得－1≤x≤1，即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，所以M＝[3，＋∞)．t2＋1－3t－3t＝t3－3t2＋t－3t＝(t－3)(t2＋1)t，因为t∈M，所以t－3≥0，t2＋10，所以(t－3)(t2＋1)t≥0，所以t2＋1≥3t＋3t.-7-与绝对值不等式有关的取值(范围)问题[典型例题](2019·重庆市七校联合考试)已知函数f(x)＝(a－a2)x＋4，g(x)＝|x－1|－|x＋1|.(1)当a＝1＋52时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≤g(x)在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1＋52时，f(x)＝－x＋4，在同一坐标系内分别作出f(x)＝－x＋4，g(x)＝|x－1|－|x＋1|的图象，如图所示，由y＝－x＋4y＝－2，解得交点A的坐标为(6，－2)，所以不等式f(x)≤g(x)的解集为[6，＋∞)．(2)当x∈[1，＋∞)时，g(x)＝|x－1|－|x＋1|＝－2，因为不等式f(x)≤g(x)在[1，＋∞)上恒成立，所以不等式(a－a2)x＋4≤－2在[1，＋∞)上恒成立，所以不等式a－a2≤－6x在[1，＋∞)上恒成立，所以a－a2≤－6，解得a≥3或a≤－2.绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式．(2)转化最值：f(x)a恒成立⇔f(x)mina；f(x)a恒成立⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)mina；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)a无解⇔f(x)min≥a.(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．(4)得结论．[对点训练]-8-1．(2019·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝|x＋5|－|x－4|.(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；(2)若函数f(x)的最大值为M，设a，b为正实数，且(a＋1)(b＋1)＝M，求ab的最大值．解：(1)f(x)＝|x＋5|－|x－4|≥x＋1等价于x－5－(x＋5)＋(x－4)≥x＋1或－5≤x4(x＋5)＋(x－4)≥x＋1或x≥4(x＋5)－(x－4)≥x＋1.解得x≤－10或0≤x4或4≤x≤8，所以原不等式的解集为(－∞，－10]∪[0，8]．(2)易知|x＋5|－|x－4|≤|(