（新课标）2020版高考数学二轮复习 第一部分 基础考点 自主练透 第4讲 不等式与合情推理学案 文

-1-第4讲不等式与合情推理不等式的解法[考法全练]1．设ab，a，b，c∈R，则下列结论正确的是()A．ac2bc2B.ab1C．a－cb－cD．a2b2解析：选C.当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A错误；当b＝0时，ab无意义，所以选项B错误；因为ab，所以a－cb－c恒成立，所以选项C正确；当a≤0时，a2b2，所以选项D错误．故选C.2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，则a＝()A．2B．－2C．－12D.12解析：选B.根据一元二次不等式与其对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－1×－12＝－1a，所以a＝－2，故选B.3．设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为()A．(2，3)B．[2，4)C．[2，3]D．(2，3]解析：选B.不等式[x]2－5[x]＋6≤0可化为([x]－2)·([x]－3)≤0，解得2≤[x]≤3，即不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2≤x＜4.故选B.4．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是()A．(－3，5)B．(－2，4)C．[－3，5]D．[－2，4]-2-解析：选D.由x2－(a＋1)x＋a0得(x－1)(x－a)0，当a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意；当a1时，不等式的解集为(1，a)；当a1时，不等式的解集为(a，1)．要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2，4]．故选D.解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．(3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解．[注意]求解含参数的不等式的易错点是不清楚对参数分类讨论的标准导致求解出错．-3-基本不等式及其应用[考法全练]1．设x≥0，则函数y＝x＋1x＋1－32的最小值为________．解析：y＝x＋1x＋1－32＝(x＋1)＋1x＋1－52≥2－52＝－12.当且仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0时等号成立．答案：－122．(2019·高考天津卷)设x0，y0，x＋2y＝5，则（x＋1）（2y＋1）xy的最小值为________．解析：（x＋1）（2y＋1）xy＝2xy＋2y＋x＋1xy＝2xy＋6xy＝2xy＋6xy.由x＋2y＝5得5≥22xy，即xy≤524，即xy≤258，当且仅当x＝2y＝52时等号成立.2xy＋6xy≥22xy·6xy＝43，当且仅当2xy＝6xy，即xy＝3时取等号，结合xy≤258可知，xy可以取到3，故（x＋1）（2y＋1）xy的最小值为43.答案：433．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4900x＋x≥8900x·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：304．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．解析：由题意可知x＋y＋3＝xy(x0，y0)，所以x＋y＋3＝xy≤x＋y22，即4(x＋y)＋12≤(x＋y)2，(x＋y－6)(x＋y＋2)≥0，所以x＋y≥6.答案：[6，＋∞)-4-5．已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都为正实数．若a⊥b，则1x＋13y的最小值为________．解析：因为a⊥b，所以a·b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y为正实数，所以1x＋13y＝(x＋3y)·1x＋13y＝2＋3yx＋x3y≥2＋23yx·x3y＝4，当且仅当x＝3y＝12时取等号．所以1x＋13y的最小值为4.答案：4利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值．即化为y＝m＋Ag（x）＋Bg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．[注意]运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．简单的线性规划问题[考法全练]1．(一题多解)(2019·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，x≥－1，y≥－1，则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A.2B.3C.5D.6-5-解析：选C.法一：作出可行域如图中阴影部分所示．由z＝－4x＋y得y＝4x＋z，结合图形可知当直线y＝4x＋z过点A时，z最大，由x－y＋2＝0，x＝－1，得A(－1，1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.法二：易知目标函数z＝－4x＋y的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(－1，1)，(0，2)，(－1，－1)，(3，－1)．当直线y＝4x＋z经过点(－1，1)时，z＝5；当直线y＝4x＋z经过点(0，2)时，z＝2；当直线y＝4x＋z经过点(－1，－1)时，z＝3；当直线y＝4x＋z经过点(3，－1)时，z＝－13.所以zmax＝5，故选C.2．(2019·洛阳市统考)如果点P(x，y)满足2x－y＋2≥0x－2y＋1≤0x＋y－2≤0，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的取值范围是()A．[5－1，10－1]B．[5－1，10＋1]C．[10－1，5]D．[5－1，5]解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为5，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是[5－1，5]，故选D.-6-3．(2019·郑州市第二次质量预测)设实数x，y满足x－3y＋10≤0x＋2≥0x＋2y－5≤0，则z＝yx的取值范围为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝yx表示平面区域内的点与坐标原点O的连线的斜率．由x＋2y－5＝0x－3y＋10＝0，得x＝－1y＝3，即A(－1，3)．由x＝－2x－3y＋10＝0，得x＝－2y＝83，即B(－2，83)．所以zmax＝kOB＝83－2＝－43，zmin＝kOA＝3－1＝－3，所以z＝yx的取值范围为－3，－43.答案：－3，－434．已知变量x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≥0，2x＋y≤1，记z＝4x＋y的最大值是a，则a＝________．解析：变量x，y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x＋y＝0，平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由2x＋y＝1，x＋y＝0，解得x＝1，y＝－1，所以A(1，－1)，-7-此时z＝4×1－1＝3，故a＝3.答案：3简单的线性规划问题的解题策略在给定约束条件的情况下，求线性目标函数的最优解，其主要解题策略为：(1)根据约束条件作出可行域．(2)根据所要求的目标函数的最值，令目标函数z＝0，将所得直线平移，得到可行解，并确定最优解．(3)将取得最优解时的点的坐标确定，并求出此时的最优解．合情推理[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙解析：选A.依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.2．观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝6-8-12－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式为________________．解析：观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1，3，6，10，15，21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·n（n＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·n（n＋1）23．祖暅(公元5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)，称为椭球体，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2π×b2×a－13π×b2a＝43πb2a.答案：43πb2a合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要根据已知的部分个体，适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．-9-(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．一、选择题1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．若ab0，则下列不等式错误的是()A.1a1bB.1a－b1aC．|a||