（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题二 数列 第1讲 等差数列与等比数列学案 文 新人教A版

-1-第1讲等差数列与等比数列[做真题]1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________．解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1（1－q5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1（1－q5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.答案：12132．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝____________．解析：通解：设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得a1＋2d＝5，a1＋6d＝13，解得a1＝1，d＝2，所以S10＝10×1＋10×92×2＝100.优解：由题意，得公差d＝14(a7－a3)＝2，所以a4＝a3＋d＝7，所以S10＝10（a1＋a10）2＝5(a4＋a7)＝100.答案：1003．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝-2-n2.4．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得an＋1＝2（n＋1）nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.[明考情]等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题．-3-等差、等比数列的基本运算(综合型)[知识整合]等差数列的通项公式及前n项和公式an＝a1＋(n－1)d；Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d(n∈N*)．等比数列的通项公式及前n项和公式an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q(q≠1)(n∈N*)．[典型例题](2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【解】(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝n（n－9）d2.由a10知d0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．[对点训练]1．(2019·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列1an为等差数列，则a9＝()A.12B.54-4-C.45D．－45解析：选C.因为数列1an为等差数列，a3＝2，a7＝1，所以数列1an的公差d＝1a7－1a37－3＝1－127－3＝18，所以1a9＝1a7＋(9－7)×18＝54，所以a9＝45，故选C.2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝____________．解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝34，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝a1（1－q3）1－q＝34，得1＋q＋q2＝34，解得q＝－12，所以S4＝a1（1－q4）1－q＝1×1－－1241－－12，整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N*)．