（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应

-1-第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用[做真题]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：选D.由x2－2x－80，得x－2或x4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选B.f(x)＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)，令f(x)＝0，则sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314＞f2－32＞f2－23B．flog314＞f2－23＞f2－32C．f2－32＞f2－23＞flog314D．f2－23＞f2－32＞flog314解析：选C.因为函数y＝2x在R上是增函数，所以02－322－2320＝1.因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log314log313＝－1.因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且02－322－2320＝1log34，所以f2－32f2－23f(log34)＝flog314.故选C.[明考情]1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，有时难度较大．-2-2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．基本初等函数的图象及性质(综合型)[知识整合]指数与对数式的8个运算公式(1)am·an＝am＋n.(2)(am)n＝amn.(3)(ab)m＝ambm.(4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(5)logaMN＝logaM－logaN.(6)logaMn＝nlogaM.(7)alogaN＝N.(8)logaN＝logbNlogba.注：(1)(2)(3)中，a0，b0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．[典型例题](1)(2019·湖南省五市十校联考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)1e2－e2的x的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(3，＋∞)(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1,f(a)＝4，则f(－a)＝________.【解析】(1)由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)1e2－e2＝f(－2)，所以x－1－2，解得x－1，故选B.-3-(2)由f(a)＝ln(1＋a2－a)＋1＝4，得ln(1＋a2－a)＝3，所以f(－a)＝ln(1＋a2＋a)＋1＝－ln11＋a2＋a＋1＝－ln(1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.【答案】(1)B(2)－2研究指数、对数函数的图象及性质应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，易忽视t0的限制条件．[对点训练]1．(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．abcC．bcaD．cab解析：选A.因为a＝log27log24＝2，b＝log38log39＝2，b＝log381，c＝0.30.21，所以cba.故选A.2．已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)满足f(2a)f(3a)，则f(1－1x)0的解集为()A．(0，1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选C.因为函数f(x)＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a3a且f(2a)f(3a)，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f(1－1x)0，得01－1x1，所以x1，故选C.函数的零点(综合型)[知识整合]函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，-4-那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[典型例题](1)(2018·福建市第一学期高三期末考试)已知函数f(x)＝x2－2x，x≤0，1＋1x，x0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)(2019·江西八所重点中学联考)已知f(x)＝12|x|（x≤1）－x2＋4x－2（x1），若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，12)∪[1，2)B．(0，12)∪[1，2)C．(1，2)D．[1，2)【解析】(1)令f(x)＋3x＝0，则x≤0，x2－2x＋3x＝0或x0，1＋1x＋3x＝0，解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.(2)关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得实数a的取值范围是0，12∪[1，2)，故选B.【答案】(1)C(2)B利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．-5-(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．已知实数a1，0b1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)解析：选B.因为a1，0b1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(x)为增函数，f(－1)＝1a－1－b0，f(0)＝1－b0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．2．已知在区间(0，2]上的函数f(x)＝1x－3，x∈（0，1]，2x－1－1，x∈（1，2]，且g(x)＝f(x)－mx在区间(0，2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.－94，－2∪0，12B.－114，－2∪0，12C.－94，－2∪0，23D.－114，－2∪0，23解析：选A.由函数g(x)＝f(x)－mx在(0，2]内有且仅有两个不同的零点，得y＝f(x)，y＝mx在(0，2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y＝mx与y＝1x－3在x∈(0，1]相切时，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－94，结合图象可得当－94m≤－2或0m≤12时，函数g(x)＝f(x)－mx在(0，2]内有且仅有两个不同的零点．函数的实际应用(综合型)[知识整合]构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．-6-(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f(x)＝x＋ax(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．[典型例题](2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1【解析】根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lgE1E2，得lgE1E2＝10.1，所以E1E2＝1010.1，故选A.【答案】A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]1．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝13x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋10000x－1450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．解析：因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.05×1000x＝50x万元．①当0x80时，年利润L(x)＝50x－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250＝－13(x－60)2＋950，所以当x＝60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)＝950万元；-7-②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000，当且仅当x＝10000x，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．由于9501000，所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1000万元．答案：10002．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，所以e－k＝50.9＝0.915，所以P＝P0e－kt＝P0(0.915)t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝(0.915)t，解得t＝10，即需要花费10小时．答案：10一、选择题1．幂函数的