（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 直线、圆与椭圆的综合运用学案 文

-1-第3讲直线、圆与椭圆的综合运用[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．交点、定点、定值问题第17题第18题第17题解析几何综合是江苏高考必考题．填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，主要是以椭圆为背景；解答题主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，计算量大，重点关注交点、定点、定值及最值、范围问题．2．范围、最值问题3．探索性问题1．交点、定点、定值问题如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值，探讨定值的问题一般为解答题．求定点、定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后再予以证明．2．范围、最值问题求解析几何中的有关范围最值问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题．对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．3．探索性问题存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)-2-不确定的问题．这类问题常常出现“是否存在”“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定．解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明．即：“假设——推证——定论”是解答此类问题的三个步骤．交点、定点、定值问题[典型例题](2019·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1．已知DF1＝52．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．【解】(1)设椭圆C的焦距为2c．因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2＝2，c＝1．又因为DF1＝52，AF2⊥x轴，所以DF2＝DF21－F1F22＝522－22＝32．因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2．由b2＝a2－c2，得b2＝3．因此，椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1．(2)法一：由(1)知，椭圆C：x24＋y23＝1，a＝2．因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1．将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4．-3-因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2．由y＝2x＋2，（x－1）2＋y2＝16，得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－115．将x＝－115代入y＝2x＋2，得y＝－125．因此B－115，－125．又F2(1，0)，所以直线BF2：y＝34(x－1)．由y＝34（x－1），x24＋y23＝1，得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝137．又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1．将x＝－1代入y＝34(x－1)，得y＝－32．因此E－1，－32．法二：由(1)知，椭圆C：x24＋y23＝1．如图，连接EF1．因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B．因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B．所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A．因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1，0)，由x＝－1，x24＋y23＝1，得y＝±32．又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－32．因此E－1，－32．-4-(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后根据直线系方程过定点时方程成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．当定点具备一定的限制条件时，可特殊对待．[对点训练]1．(2019·苏州市高三调研测试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且过点P(2，－1)．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．[解](1)因为椭圆C的离心率ca＝32，所以a2－b2a2＝34，即a2＝4b2，所以椭圆C的方程可化为x2＋4y2＝4b2，又椭圆C过点P(2，－1)，所以4＋4＝4b2，得b2＝2，则a2＝8．所以所求椭圆C的标准方程为x28＋y22＝1．(2)由题意，设直线PA的方程为y＋1＝k(x－2)，联立方程得x2＋4y2＝8，y＝k（x－2）－1，消去y得：(1＋4k2)x2－8(2k2＋k)x＋16k2＋16k－4＝0．所以2x1＝16k2＋16k－41＋4k2，即x1＝8k2＋8k－21＋4k2．因为直线PQ平分∠APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，设直线PB的方程为y＋1＝－k(x－2)，同理求得x2＝8k2－8k－21＋4k2．又y1＋1＝k（x1－2），y2＋1＝－k（x2－2），所以y1－y2＝k(x1＋x2)－4k．即y1－y2＝k(x1＋x2)－4k＝k16k2－41＋4k2－4k＝－8k1＋4k2，x1－x2＝16k1＋4k2．-5-所以直线AB的斜率为kAB＝y1－y2x1－x2＝－8k1＋4k216k1＋4k2＝－12．所以直线AB的斜率是定值－12．范围、最值问题[典型例题](2019·泰州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455．(1)求椭圆E的标准方程；(2)证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求△BCD面积的最大值．【解】(1)由题意得ca＝53，a2c－c＝455，解得a＝3，c＝5，所以b＝a2－c2＝2，所以椭圆E的标准方程为x29＋y24＝1．(2)设B(x0，y0)，C(－x0，y0)，显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则k1＝y0x0＋3，k2＝y0－x0＋3，k3＝－x0＋3y0，k4＝x0－3y0，所以直线BD，CD的方程为y＝－x0＋3y0(x－x0)＋y0，y＝x0－3y0(x＋x0)＋y0，消去y得－x0＋3y0(x－x0)＋y0＝x0－3y0(x＋x0)＋y0，化简得x＝3，故点D在定直线x＝3上运动．-6-(3)由(2)得点D的纵坐标为yD＝x0－3y0(3＋x0)＋y0，又x209＋y204＝1，所以x20－9＝－9y204，则yD＝x0－3y0(3＋x0)＋y0＝－94y20y0＋y0＝－54y0，所以点D到直线BC的距离h为|yD－y0|＝－54y0－y0＝94|y0|，将y＝y0代入x29＋y24＝1得x＝±31－y204，即BC＝61－y204，所以△BCD面积S△BCD＝12BC·h＝12×61－y204·94|y0|＝2721－y204·12|y0|≤272·1－y204＋y2042＝274，当且仅当1－y204＝y204，即y0＝±2时等号成立，故y0＝±2时，△BCD面积的最大值为274．求范围最常见的解法有两种：代数法和几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求范围．求范围常用方法有配方法，判别式法，基本不等式法及函数的单调性法，这种方法称为代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．[对点训练]2．(2019·南京市四校联考)已知椭圆C：x24＋y2b＝1(0b4)的左、右顶点分别为A、B，M为椭圆C上异于A、B的任意一点，A关于M的对称点为P．(1)若M的横坐标为12，且点P在椭圆的右准线上，求b的值；(2)若以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，求b的取值范围．[解](1)因为M是AP的中点，xM＝12，xA＝－2，所以xP＝3．因为P在椭圆的右准线上，所以44－b＝3，解得b＝209．(2)设点P的坐标为(x0，y0)，点M的坐标为(x1，y1)，因为P关于M的对称点为A，所以x0－22＝x1，y02＝y1，即x0＝2x1＋2，y0＝2y1．-7-因为以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以OM⊥OP，所以OM→·OP→＝0，即x0x1＋y0y1＝0，所以(2x1＋2)x1＋2y21＝0，即y21＝－x21－x1．又点M在椭圆x24＋y2b＝1(0b4)上，所以x214＋y21b＝1，即b＝y211－x214＝4y214－x21，所以b＝4×x21＋x1x21－4＝4(1＋x1＋4x21－4)＝4[1＋x1＋4（x1＋4）2－8（x1＋4）＋12]＝4[1＋1（x1＋4）＋12x1＋4－8]，因为－2x12，所以2x1＋46，所以43≤x1＋4＋12x1＋48，所以1（x1＋4）＋12x1＋4－8≤143－8，即1（x1＋4）＋12x1＋4－8∈(－∞，143－8]，所以b∈(－∞，4(1＋143－8)]，即b∈(－∞，2－3]．又0b4，所以b∈(0，2－3]．探索性问题[典型例题](2019·苏州模拟)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|＝23．-8-(1)求椭圆C的方程；(2)Q是椭圆C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．【解】(1)由题意得A(－a，0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t0)，所以c2a2＋t2b2＝1，解得t＝b2a，即Pc，b2a，由AB∥OP得ba＝b2ac，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2b2，①又AB＝23，所以a2＋b2＝12，②由①②得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1．(2)假设存在D(m，0)使得直线QA与QD的斜率乘积恒为定值，设Q(x0，y0)(y0≠0)，则x208＋y204＝1，③设kQA×kQD＝k(常数)，因为A(－22，0)，所以y0x0＋22×y0x0－m＝k，④由③得y20＝41－x208，⑤将⑤代入④，得k＝8－x202[x20＋（22－m）x0－22m]．所以22－m＝0，22m＝8，所以m＝22，k＝－12，所以存在点D(22，0)，使得kQA×kQD＝－12．解答探索性问题，需要正确辨别题型，分析命题的结构特征，选择解题的突破口，寻找出最优的解题思路．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在