2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新

-1-3.1.3空间向量的数量积运算学习目标核心素养1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法．2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．2.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π2时，两向量垂直，记作a⊥b．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间两向量的数量积的性质：向量数量积的垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a|·|b|反向：则a·b＝－|a|·|b|-2-性质模a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2|a|＝a·a|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为a，b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示](1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b0，故当a·b0时，〈a·b〉不一定是锐角．1．下列各命题中，不正确的命题的个数为()①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.A．0B．3C．2D．1D[命题①②③正确，④不正确．]2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，则〈A′B→，B′D′→〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°D[△B′D′C是等边三角形，〈A′B→，B′D′→〉＝〈D′C→，B′D′→〉＝120°.]3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．23π[cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.所以〈a，b〉＝23π.]4．设a⊥b，〈a，c〉＝π3，〈b，c〉＝π6，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________．17＋63[因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)-3-＝1＋4＋9＋20＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a＋b＋c|＝17＋63.]空间向量的数量积运算【例1】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝()A．1B．2C．3D．4(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：①EF→·BA→；②EF→·BD→；③EF→·DC→；④AB→·CD→.(1)A[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.](2)解：①EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12cos60°＝14.②EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12|BD→|2＝12.③EF·DC→＝12BD→·DC→＝－12DB→·DC→＝－12×cos60°＝－14.④AB→·CD→＝AB→·(AD→－AC→)＝AB→·AD→－AB→·AC→＝|AB→||AD→|cos〈AB→，AD→〉－|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝cos60°－cos60°＝0.在几何体中求空间向量的数量积的步骤-4-(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模．(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→＝________.14a2[AE→·AF→＝12()AB→＋AC→·12AD→＝14(AB→·AD→＋AC→·AD→)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.](2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则OG→·(OA→＋OB→＋OC→)＝________．143[OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋13(AB→＋AC→)＝OA→＋13[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝13OB→＋13OC→＋13OA→.∴OG→·(OA→＋OB→＋OC→)＝13OB→＋13OC→＋13OA→·(OA→＋OB→＋OC→)＝13OB→2＋13OC→2＋13OA→2＝13×22＋13×32＋13×12＝143.]利用数量积证明空间的垂直关系【例2】已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.[解]连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|.-5-又OG→＝12(OM→＋ON→)＝1212OA→＋12（OB→＋OC→）＝14(a＋b＋c)，BC→＝c－b.∴OG→·BC→＝14(a＋b＋c)·(c－b)＝14(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝14(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴OG→⊥BC→，即OG⊥BC.用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题．(2)用已知向量表示所证向量．(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题．2．如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.[证明](1)因为AO→＝AD→＋DO→＝AD→＋12(DD′→＋DC→)，因为CD′→＝DD′→－DC→，所以AO→·CD′→＝12(DD′→＋DC→＋2AD→)·(DD′→－DC→)＝12(DD′→·DD′→－DD′→·DC→＋DC→·DD′→－DC→·DC→＋2AD→·DD′→－2AD→·DC→)＝12(|DD′→|2－|DC→|2)＝0，所以AO→⊥CD′→，故AO⊥CD′.(2)因为AC′→·B′C→＝(AB→＋BC→＋CC′→)·(B′B→＋BC→)＝AB→·B′B→＋AB→·BC→＋BC→·B′B→＋BC→·BC→＋CC′→·B′B→＋CC′→·BC→，-6-可知AB→·B′B→＝0，AB→·BC→＝0，BC→·B′B→＝0，BC→·BC→＝|BC→|2，CC′→·B′B→＝－|CC′→|2，CC′→·BC→＝0，所以AC′→·B′C→＝|BC→|2－|CC′→|2＝0，所以AC′→⊥B′C→，所以AC′⊥B′C.同理可证，AC′⊥B′D′.又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.利用数量积求夹角【例3】如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求OA→与BC→的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．[解]∵BC→＝AC→－AB→，∴OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→|·|AC→|·cos〈OA→，AC→〉－|OA→|·|AB→|·cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162.∴cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→|·|BC→|.