2019-2020学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判

-1-2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标核心素养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)1.通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB．思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？[提示]无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的-2-大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．2．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：(3)记作：α⊥β．(4)判定定理：文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？[提示]不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．1．如图所示的二面角可记为()A．α­β­lB．M­l­NC．l­M­ND．l­β­αB[根据二面角的记法规则可知B正确．]2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在C[经过l的任一平面都和α垂直．]3．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于________．90°[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又-3-∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]二面角的计算问题【例1】如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值．[解]如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角．设点H是△BCD的重心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝32×2＝3，HM＝32×2×13＝33，则cos∠AMB＝333＝13，即二面角的余弦值为13.1．求二面角的大小关键是作出平面角：求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．2．确定二面角的平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．-4-(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝12AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．[证明]因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝12AD，所以∠ADC＝30°.平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明](1)法一：(利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，-5-连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝22a，BD＝BC2＝22a.在Rt△ABD中，AD＝22a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.证明面面垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.-6-[证明]连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.线线、线面垂直的综合[探究问题]1．如图所示，如何作出二面角P­AB­Q的平面角？[提示]过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连OP，则∠POH即为二面角P­AB­Q的平面角．2．线面、面面垂直关系是如何转化的？[提示]欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可．【例3】如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证：A1E⊥BD；(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD．思路探究：(1)欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；(2)要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面．[证明]连接AC，设AC∩DB＝O，-7-连接A1O，OE，(1)因为AA1⊥底面ABCD，所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，所以BD⊥平面ACEA1，因为A1E⊂平面ACEA1，所以A1E⊥BD.(2)在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，因为BD⊥平面ACEA1，OE⊂平面ACEA1，所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1­BD­E的平面角．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝3a，A1O＝6a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.本例中，条件不变，试求二面角E­BD­C的正切值．[解]连接AC交BD于O，连接OE(图略)．由例题中(2)知，BD⊥OE，BD⊥OC.∴∠EOC为二面角E­BD­C的平面角．设正方体棱长为a，则CE＝a2，OC＝22a.在Rt△OCE中，tan∠EOC＝CEOC＝a222a＝22.所以二面角E­BD­C的正切值为22.线面、面面垂直的综合问题的解题策略：(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．-8-1．求二面角大小的步骤简称为“一作、二证、三求”．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直C[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A．互为余角B．相等C．其和为周角D．互为补角D[画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________．45°[根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.]4．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.-9-证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.[证明]因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.线面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；-10-(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.面面垂直性质定理的应用【例2】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.[证明]如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，-11-∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.1．证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．2．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明]∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD.∴BC⊥面VAB，又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，∵VA⊂面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用[探究问题]试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．[提示]垂直问题转化关系如下所示