2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程 2.1 曲线的参数方程讲义 新人教B版选修4-4

-1-2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化．(重点)1．参数方程的概念定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数x＝fty＝gt，a≤t≤b.(*)如果对于t的每一个值(a≤t≤b)，(*)式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．简单地说，若t在a≤t≤b内变动时，由(*)式确定的点M(x，y)描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程．2．参数方程与普通方程互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝fty＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？[提示]联系x、y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．思考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？[提示]不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同．-2-1．将参数方程x＝2＋sin2θy＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)[解析]消去sin2θ，得x＝2＋y，又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.[答案]C2．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是()A．x＝t12y＝t－12B．x＝sinty＝1sintC．x＝costy＝1costD．x＝tanty＝1tant[答案]D3．曲线x＝1＋t2y＝t－1与x轴交点的直角坐标是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,0)D．(±2,0)[解析]设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．[答案]C4．曲线x＝1－2ty＝2＋3t(t为参数)与直线x＋y＝0的交点坐标是()A．(5，－5)B．(7，－7)C．(－5,5)D．(－7,7)[解析]将x＝1－2t，y＝2＋3t代入x＋y＝0得t＝－3，代入参数方程得x＝7，y＝－7.[答案]B参数方程的概念【例1】已知曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝3sinθ(θ为参数，0≤θ2π)．判断点A(2,0)，B(－3，32)是否在曲线C上？-3-若在曲线上，求出点对应的参数的值．[思路探究]将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解．[解]把点A(2,0)的坐标代入x＝2cosθy＝3sinθ得cosθ＝1且sinθ＝0，由于0≤θ2π，解之得θ＝0，因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把B(－3，32)代入参数方程，得－3＝2cosθ，32＝3sinθ.∴cosθ＝－32，sinθ＝12.又0≤θ2π，∴θ＝56π，所以点B(－3，32)在曲线C上，对应θ＝56π.对于曲线C的参数方程x＝fty＝gt(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则x1＝fty1＝gt对应的参数t有解，否则无解，即参数t不存在．1．已知曲线C的参数方程为x＝t＋1y＝t2－4(t为参数)判断点A(3,0)，B(－2,2)是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解]将点A(3,0)的坐标代入x＝t＋1y＝t2－4，得t＋1＝3t2－4＝0，解之得t＝2.所以点A(3,0)在曲线C上，对应参数t＝2.将点B(－2,2)的坐标代入x＝t＋1y＝t2－4，-4-得t＋1＝－2t2－4＝2，即t＝－3t2＝6，此方程组无解．所以点B(－2,2)不在曲线C上．求参数方程【例2】在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进行投弹，投弹时，飞机离地面的距离h＝490m，水平飞行的速度v＝100m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程．(不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2)[思路探究]这是物理学中的平抛运动，选择时间t作参数，可将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程．[解]如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O，以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系．设P(x，y)为炸弹在ts后的坐标，则由题意可知x＝vt，y＝h－12gt2.因为h＝490m，v＝100m/s，g＝10m/s2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是x＝100t，y＝490－5t2(0≤t≤72)．1．本例选择时间t为参数，很容易将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键．2．求轨迹的参数方程的一般步骤是(1)建立适当的坐标系，设动点P(x，y)为轨迹上任意一点．(2)根据题意选择与动点P有直接联系的参数t.(3)根据轨迹条件求出x和y与参数t之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的．-5-2．设炮弹的发射角为α，发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素)．[解]取炮口为原点，水平方向为x轴，建立坐标系如图所示，设炮弹发射后的位置在点M(x，y)，又设炮弹发射后的时间t为参数．由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x＝OQ＝|OP|cosα＝v0tcosα.y＝QM＝QP－MP＝v0tsinα－12gt2.即得弹道曲线的参数方程：x＝v0tcosα，y＝v0tsinα－12gt2.参数方程与普通方程的互化【例3】在方程x＝a＋tcosθy＝b＋tsinθ，(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？[思路探究](1)运用加减消元法，消t；(2)利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状．[解]方程x＝a＋tcosθ，①y＝b＋tsinθ，②(a，b是正常数)，(1)①×sinθ－②×cosθ得xsinθ－ycosθ－asinθ＋bcosθ＝0.∵cosθ、sinθ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t为非零常数时，-6-原方程组为x－at＝cosθ，③y－bt＝sinθ.④③2＋④2得x－a2t2＋y－b2t2＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．3．若将题目中的条件，改为“以过点A(0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x2＋y2＝16的参数方程”．[解]设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上异于A(0,4)的任意一点．则y－4x＝k(x≠0)，∴y＝kx＋4(k≠0)．将y＝kx＋4代入4x2＋y2＝16，得x[(4＋k2)x＋8k]＝0，∴x＝0y＝－4或x＝－8k4＋k2y＝－4k2＋164＋k2(k≠0，k为参数)．因此所求的参数方程为x＝－8k4＋k2y＝－4k2＋164＋k2(k≠0)和x＝0，y＝－4.-7-(教材P34习题2－1T4)设曲线的参数方程为x＝3－2ty＝－1－4t，把它化为普通方程，说明它表示什么曲线．化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.x＝1－2ty＝3－4t(t是参数)．[命题意图]本题以化参数方程为普通方程为载体，考查运算求解能力．[解]∵x＝1－2t，∴t＝1－x2，①∴x≤1，将①代入y＝3－4t得2x－y＋1＝0(x≤1)，表示一条射线．