2019-2020学年高中数学 第2章 函数章末复习课学案 北师大版必修1

-1-第2章函数求函数的定义域【例1】(1)若函数y＝1ax2＋4ax＋3的定义域为R，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f12x－1的定义域为________．(1)0，34(2)[2,4][(1)依题意，x∈R，解析式有意义，即对任意x∈R，都有ax2＋-2-4ax＋3≠0成立，故方程ax2＋4ax＋3＝0无实根．①当a＝0时，3≠0满足要求；②当a≠0时，则有Δ＝16a2－12a＜0，即0＜a＜34时满足要求．综上可知a∈0，34.(2)由题意知，0≤12x－1≤1，解得2≤x≤4.因此，函数f12x－1的定义域为[2,4]．]求函数定义域的类型与方法已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.复合函数问题：①若fx的定义域为[a，b]，fgx的定义域应由a≤gxb解出；②若fgx的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在[a，b]上的值域.,注意：①fx中的x与fgx中的gx地位相同；②定义域所指永远是x的范围.1．已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．[解]由0≤x1，得－1≤2x－11，所以，f(x)的定义域是[－1,1)．由－1≤1－3x1，得0x≤23.所以，函数f(1－3x)的定义域是0，23.函数的单调性【例2】(1)已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝0，若f(x－1)0，则x的取值范围是________．(2)函数y＝|2x－1|的单调递增区间是________．[思路探究](1)将原不等式化为f(x－1)f(2)，再利用函数的单调性将其转化为x－12来解；(2)画出函数的图像求解．(1)x3(2)12，＋∞[(1)∵f(2)＝0，∴不等式f(x－1)0，即为f(x－1)f(2)，又f(x)是R上的减函数，-3-则x－12，解得x3.(2)函数y＝|2x－1|的图像如下：由图像知，其单调递增区间是12，＋∞.]fx是A上的增函数⇔对任意x1，x2∈A，当x1≠x2时，\f(fx2－fx1,x2－x1)0，fx是A上的减函数⇔对任意x1，x2∈A，当x1≠x2时，.若fx是单调递增减函数，则①fx2fx1⇔x2x1x2x1；②fx2＝fx1⇔x2＝x1；③fx2fx1⇔x2x1x2x12．(1)已知f(x)＝x12，若0ab1，则下列各式中正确的是()A．f(a)f(b)f1af1bB．f1af1bf(b)f(a)C．f(a)f(b)f1bf1aD．f1af(a)f1bf(b)(2)已知函数y＝ax－1在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0,1]B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(1)C(2)C[(1)由0ab1，得0ab1b1a，-4-又f(x)＝x12是增函数，则f(a)f(b)f1bf1a.(2)依题意，a0，a－1≥0，解得a≥1.]函数的奇偶性[探究问题]1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(－x)＝－f(x)，故变量x，－x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(－x)＝f(x)可知，－x，x也均在定义域内．2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．3．定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)＝0.【例3】(1)已知函数g(x)＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()A．2B．3C．4D．5(2)若函数y＝x＋12＋3xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.[思路探究](1)利用g(－2)＝g(2)求解；(2)变形得y＝1＋2x＋3xx2＋1，先判断y＝2x＋3xx2＋1是奇函数，再利用奇函数的最大值与最小值之和为零求解．(1)D(2)2[(1)由g(x)＝f(x)＋x是偶函数，得g(－2)＝g(2)，即f(－2)＋(－2)＝f(2)＋2，所以，f(－2)＝f(2)＋4＝1＋4＝5.(2)y＝x＋12＋3xx2＋1＝1＋2x＋3xx2＋1，令f(x)＝2x＋3xx2＋1，则f(x)是奇函数．-5-∴f(x)max＋f(x)min＝0，∴M＋m＝[1＋f(x)max]＋[1＋f(x)min]＝2＋[f(x)max＋f(x)min]＝2.]函数奇偶性的几个结论如果一个奇函数fx在原点处有定义，那么f＝0.如果函数fx是偶函数，那么fx＝fx奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.3．(1)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()A．abB．abC．|a||b|D．0≤ab或ab≥0(2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A．－3B．－1C．1D．3(1)C(2)C[(1)由f(x)是偶函数，得f(|a|)＝f(a)，f(|b|)＝f(b)．又f(a)f(b)，则f(|a|)f(|b|)．又f(x)在[0，＋∞)上是增函数．则|a||b|.故选C.(2)f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，则f(1)＋g(1)＝1.]函数的最大(小)值已知函数f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3在区间－32，2上的最大值为1，求实数a的值．[解]当a＝0时，f(x)＝－x－3，f(x)在－32，2上不能取得1，故a≠0.f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3(a≠0)的对称轴方程为x0＝1－2a2a.(1)令f－32＝1，解得a＝－103，-6-此时x0＝－2320∈－32，2，因为a＜0，f(x0)最大，所以f－32＝1不合适．(2)令f(2)＝1，解得a＝34，此时x0＝－13∈－32，2.因为a＞0，x0＝－13∈－32，2，且距右端点2较远，所以f(2)最大，合适．(3)令f(x0)＝1，得a＝12(－3±22)，验证后知只有a＝12(－3－22)才合适．综上所述，a＝34或a＝－12(3＋22)．应用分类讨论思想解决问题的关键是确定分类的标准，从而使分类不重不漏.其步骤：确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；对所讨论的对象进行合理的分类；逐个讨论；归纳总结，即对各类情况进行归纳，得出结论.4．(1)对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．(2)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，对于其定义域的任意x，都有f(－1)≤f(x)≤f(1)，则b＝________，c＝________.(1)2(2)23[(1)如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．-7-从图像观察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝x2－4x＋3x≤0－x＋30＜x≤132x＋121＜x≤5x2－4x＋3x＞5.f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.(2)依题意，f(－1)是f(x)的最小值，f(1)是函数的最大值，所以，f(－1)＝0，直线x＝1是抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴．所以，f(3)＝0.所以，－1－b＋c＝0，－9＋3b＋c＝0，解得，b＝2，c＝3.]