2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 4 对数 4.1 对数及其运算学案 北师

-1-4．1对数及其运算学习目标核心素养1.理解对数的概念．(重点)2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)3．掌握对数的基本性质．(难点)4．掌握对数的运算性质，理解其推导过程．(难点)1.通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质，培养逻辑推理素养．2．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养.1．对数的定义阅读教材P78～P79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题．(1)对数的有关概念(2)对数的底数a的取值范围是a0，且a≠1.思考1：形如ab＝N的式子都能化成logaN＝b的形式吗？[提示]不一定．例如(－2)2＝4不能化成log－24＝2.2．对数的基本性质与对数恒等式阅读教材P79“思考交流”的内容，完成下列问题．对数恒等式alogaN＝__N__对数的基本性质底数的对数等于__1__，即logaa＝__1__1的对数等于__0__，即loga1＝__0__零和负数没有对数思考2：loga1，a0，且a≠1为什么等于0?[提示]设loga1＝b，则ab＝1，∴ab＝a0，∴b＝0.3．两种常见对数阅读教材P79“思考交流”下方与“例1”上方之间的内容，完成下列问题．对数形式特点记法一般对数以a(a0，且a≠1)为底的对数logaN-2-自然对数以__e__为底的对数lnN常用对数以__10__为底的对数lgN4.对数的运算性质阅读教材P80～P83有关内容，完成下列问题．若a0，且a≠1，M0，N0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)logaMN＝logaM－logaN.思考3：如何证明对数的运算性质(3)．[提示]设logaM＝p，logaN＝q.则由对数定义，得ap＝M，aq＝N；因为MN＝apaq＝ap－q，所以p－q＝logaMN；即logaMN＝logaM－logaN.1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．22＝4与log24＝2B．4－12＝12与log412＝－12C．(－2)3＝－8与log(－2)(－8)＝3D．3－2＝19与log319＝－2C[在对数式logaN中，a0，且a≠1，故选C.]2．若lg(lnx)＝0，则x＝________.e[由已知得lnx＝100＝1，∴x＝e1＝e.]3．lg2＋lg5＝________.1[lg2＋lg5＝lg10＝1.]4．若log22x－53＝1，则x＝________.112[由2x－53＝2⇒2x＝11⇒x＝112.]-3-指数式与对数式的互化【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log1232＝－5；(5)lg0.001＝－3；(6)lne＝1.[解](1)log21128＝－7；(2)log327＝3；(3)log100.1＝－1；(4)12－5＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e1＝e.利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①35＝243；②13m＝5.73；③log1216＝－4；④ln10＝2.303.[解]①log3243＝5；②log135.73＝m；③12－4＝16；④e2.303＝10.对数基本性质的应用【例2】(1)求下列各式中x的值．①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；②log2(log3(log4x))＝0.(2)求下列各式的值．2log32－log3329＋log38＋3log515.[解](1)①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得3x2＋2x－1＝2x2－1，3x2＋2x－10，2x2－10且2x2－1≠1.-4-解得x＝－2.②由log2(log3(log4x))＝0可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.(2)原式＝log34－log3329＋log38－3log55＝log34×932×8－3＝log39－3＝2－3＝－1.1．对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a0且a≠1)．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．3．对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．2．使式子(lgx)2－lgx＝0成立的x的值为________．1或10[由lgx(lgx－1)＝0得lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10.]3．计算：12lg3249－43lg8＋lg245.[解]原式＝12(lg32－lg49)－43×32lg2＋12(lg49＋lg5)＝12lg32－12lg49－2lg2＋12lg49＋12lg5＝52lg2－2lg2＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12lg10＝12.-5-取对数[探究问题]1．已知a＝2lg3，b＝3lg2，则a，b的大小关系是什么？提示：∵lga＝lg2lg3＝lg3lg2，lgb＝lg3lg2＝lg2lg3.∴lga＝lgb∴a＝b.2．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值是什么？提示：由2a＝5b＝m，取对数得alg2＝blg5＝lgm，∴a＝lgmlg2，b＝lgmlg5，又1a＋1b＝2，∴lg2lgm＋lg5lgm＝2，∴lg10lgm＝2.∴lgm＝12，∴m＝1012＝10.【例3】已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z.求证：12y＝1z－1x.[思路探究]令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解．[解]令3x＝4y＝6z＝m，则xlg3＝ylg4＝zlg6＝lgm∴x＝lgmlg3，y＝lgmlg4，z＝lgmlg6，∴1z－1x＝lg6lgm－lg3lgm＝lg2lgm＝12y.取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算.4．已知315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________.0[令315a＝55b＝153c＝m，则15alg3＝5blg5＝3clg15＝lgm-6-∴a＝lgm15lg3，b＝lgm5lg5，c＝lgm3lg15∴5ab－bc－3ac＝lgm215lg3lg5－lgm215lg5lg15－lgm215lg3lg15＝lgm2lg15－lg3－lg515lg3lg5lg15＝lgm2lg115lg3lg5lg15＝0]1．从三方面认识对数式(1)对数式logaN可看作一种记号，只有在a0，a≠1，N0时才有意义．(2)对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab＝N求b的前提下提出的．(3)logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是loga与N的乘积．2．loga1与logaa(a0且a≠1)的应用loga1＝0与logaa＝1这两个结论常常化“简”为“繁”，把0和1化为对数式的形式，再根据对数的有关性质求解问题．3．对数恒等式具有的特征(1)指数中含有对数形式．(2)它们是同底的．(3)其值为对数的真数.1．思考辨析(1)零和负数没有对数．()(2)当a0，且a≠1时，loga1＝1.()(3)log3(－2)2＝2log3(－2)．()[答案](1)√(2)×(3)×2．若log21－2x9＝0，则x＝________.－4[由log21－2x9＝0，得1－2x9＝1，解得x＝－4.]3．(lg2)2＋lg2lg50＋lg25＝________.2[(lg2)2＋lg2lg50＋lg25＝lg2·(lg2＋lg50)＋(lg5)2-7-＝lg2·lg100＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.]4．计算：(1)31＋log32；(2)log2(23×45)[解](1)31＋log32＝3×3log32＝3×2＝32；(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213＝13log22＝13×1＝13.