2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 4 对数 4.2 换底公式学案 北师大版

-1-4.2换底公式学习目标核心素养1.能推导出对数的换底公式．(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养．2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.换底公式阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题．换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，logab·logba＝1，logba＝思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算．1.log49log43的值为()A.12B．2C.32D．92B[log49log43＝log39＝2log33＝2.]2．若log32＝a，则log123可以用a表示为________．12a＋1[log123＝log33log312＝12log32＋1＝12a＋1]3．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________.9[因为log34·log48·log8m＝2，-2-所以lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8＝2，化简得lgm＝2lg3＝lg9.所以m＝9.]4．log29·log34＝________.4[log29·log34＝2log23·log24log23＝2log24＝4log22＝4.]利用换底公式化简求值【例1】计算：log1627log8132.[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解]log1627log8132＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝mnlogab.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．[解]原式＝lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＋lg2lg9＝lg32lg2＋lg33lg2lg2lg3＋lg22lg3＝5lg36lg2·3lg22lg3＝54.-3-用已知对数表示其他对数【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.[解]法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝1log1818×2＝11＋log182＝11＋log18189＝11＋1－log189＝12－a，所以原式＝a＋b2－a.法二：∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝log1845log1836＝log185×9log184×9＝log185＋log1892log182＋log189＝a＋b2log18189＋log189＝a＋b2－2log189＋log189＝a＋b2－a.法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝lg9×5lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a.-4-用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log142＝a，试用a表示log27.(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.[解](1)法一：因为log142＝a，所以log214＝1a.所以1＋log27＝1a.所以log27＝1a－1.由对数换底公式，得log27＝log27log22＝log272.所以log27＝2log27＝21a－1＝21－aa.法二：由对数换底公式，得log142＝log22log214＝2log27＋2＝a.所以2＝a(log27＋2)，即log27＝21－aa.(2)因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，而log52＝b，则log25＝1b，所以log245＝2a＋1b＝2ab＋1b.对数的实际应用[探究问题]1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.试写出y关于x的函数关系式．提示：依题意得y＝a1－110x＝a910x，其中x≥1，x∈N.-5-2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)提示：依题意得a910x≤a×12⇒910x≤12⇒x(2lg3－1)≤－lg2⇒x≥0.30101－2×0.4771≈6.572，∴xmin＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．【例3】某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题．(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg1.012≈0.0052，lg1.2≈0.0792)[思路探究]先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值．[解](1)由题意y＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x∈N＋)．(2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2，∴x＝log1.0121.2＝lg1.2lg1.012≈0.07920.0052≈16，故大约16年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤3．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)13[由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝0.90，-6-又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg12＝t2lg0.90，故t＝2lg21－2lg3＝2×0.30101－2×0.4771≈13.]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．1．思考辨析(1)logab＝lgblga＝lnblna.()(2)log52＝log32log35.()(3)logab·logbc＝logac．()[答案](1)√(2)×(3)√2．若lg3＝a，lg5＝b，则log53等于()A.baB．abC．abD．baB[log53＝lg3lg5＝ab.]3．log332·log227＝________.15[log332·log227＝lg32lg3·lg27lg2＝5lg2lg3·3lg3lg2＝15.]4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)[解]设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x.依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝ln0.5ln0.84，用科学计算器-7-计算得x≈3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．