2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数章末复习课学案 北师大版必修1

-1-第3章指数函数和对数函数指数、对数的运算【例1】计算：(1)lg52＋23lg8＋lg5lg20＋(lg2)2；[解](1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg2×lg5＋(lg2)2＝2＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝2＋lg5＋lg2＝3.-2-1．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．2．对数运算的常用方法(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．已知ab1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.4,2[由logab＋logba＝52，得logab＋1logab＝52，∴(logab)2－52logab＋1＝0，解得logab＝12或2，又ab1，则logab＝12，由ab＝ba，得b＝alogab，∴b＝12a，∴loga12a＝12，即loga12＋1＝12，∴loga12＝－12，-3-∴a－12＝12，∴a＝4，b＝2.]指(对)数函数的图像及应用【例2】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝12x.(1)画出函数f(x)的图像；(2)根据图像写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．[解](1)先作出当x≥0时，f(x)＝12x的图像，利用偶函数的图像关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．由于指数函数y＝axa0，且a，对数函数y＝logaxa0，且a的图像与性质都与a的取值有密切的关系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变.因此，在求解问题时，当a的值不确定时，要对它进行分类讨论.2．当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B．22，1-4-C.()1，2D．()2，2B[易知0a1，则函数y＝4x与y＝logax的大致图像如图，则只需满足loga122，解得a22，∴22a1，故选B.]比较大小【例3】(1)三个数a＝0.67，b＝70.6，c＝log0.76的大小关系为()A．bcaB．bacC．cabD．cba()A．bacB．abcC．bcaD．cab(1)C(2)A[(1)结合y＝0.6x，y＝7x和y＝log0.7x的图象，可知0a1，b1，c0，故cab.比较两数式或几个数式大小问题是一个重要题型，它主要是考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用，常用的方法有单调性法、图像法、中间量搭桥法、作差法、作商法、分析转化法等.-5-3．若ab1,0c1，则()A．acbcB．abcbacC．alogbcblogacD．logaclogbcC[对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c0，所以y＝xc为增函数，又ab1，所以acbc，A错．对于选项B，abcbac⇔bacba，又y＝bax是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.]指(对)数函数的性质及应用[探究问题]1．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图像．提示：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝log5x，x0，log5xx0.所以函数y＝log5|x|的图像如图所示．2．试写出函数f(x)＝log5|x|的值域及单调区间．提示：由探究1的图像知f(x)的值域为R，递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．3．把探究1中的函数改为y＝logb(x－1)(b0且b≠1)，试求该函数恒过的定点．提示：令x－1＝1得x＝2，又y＝logb1＝0，故该函数恒过定点(2,0)．已知函数f(x)＝loga1－mxx－1(a0，且a≠1)是奇函数．(1)求实数m的值；(2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．[思路探究](1)利用奇函数的定义求解；(2)利用复合函数单调性的判断方法判断．[解](1)由f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即loga1＋mx－x－1＝－loga1－mxx－1∴loga1＋mx－x－1＋loga1－mxx－1＝0，-6-loga1－m2x21－x2＝0，∴1－m2x21－x2＝1，∴(1－m2)x2＝0，∴1－m2＝0，解得m±1.又当m＝1时，1－mxx－1＝1－xx－1＝－1，故m＝1不合题意．所以m＝－1.(2)由(1)知，f(x)＝logax＋1x－1＝loga1＋2x－1.函数u＝1＋2x－1在区间(1，＋∞)上单调递减．∴当a1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减；当0a1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．求解与指对数函数有关的复合函数的问题时，需要弄清楚三个方面的问题：定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；底数与1的大小关系；复合函数的构成，如y＝afx是由y＝au与u＝fx构成的.4．已知f(x)＝lg1＋2x＋a·3x3.(1)若f(x)的定义域为(－∞，1)，求a的值；(2)若f(x)在x∈(－∞，1)内恒有意义，求a的取值范围．[解](1)由函数f(x)的定义域为(－∞，1)，得关于x的不等式1＋2x＋a·3x0的解集为(－∞，1)，即a－13x＋23x＝g(x)的解集为(－∞，1)．∵g(x)在R上是增函数，∴不等式g(1)g(x)的解集为(－∞，1)，∴a＝g(1)＝－1.(2)由已知得，不等式1＋2x＋a·3x0对x∈(－∞，1)恒成立，即a－13x＋23x＝g(x)对x∈(－∞，1)恒成立；故ag(x)max，∵g(x)在区间(－∞，1)上是增函数，-7-∴g(x)g(1)＝－1，∴a≥－1.