2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数（第1课时）指数函

-1-第1课时指数函数的概念、图象及性质考点学习目标核心素养指数函数的概念理解指数函数的概念及意义数学抽象指数函数的图象能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质直观想象指数函数的定义域、值域问题掌握指数函数的定义域、值域的求法数学运算问题导学预习教材P111－P118，并思考以下问题：1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y＝ax(a1)和y＝ax(0a1)的定义域、值域和单调性各是什么？1．指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．■名师点拨指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.2．指数函数的图象和性质a的范围a10a1图象-2-性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0，1)单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数■名师点拨底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a1时，指数函数的图象是“上升”的；当0a1时，指数函数的图象是“下降”的．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝ax中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．()答案：(1)×(2)√(3)×函数y＝(3－1)x在R上是()A．增函数B．奇函数C．偶函数D．减函数答案：Dy＝34x的图象可能是()答案：C若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点3，18，则f(x)＝________．答案：12x函数f(x)＝2x＋3的值域为________．答案：(3，＋∞)指数函数的概念-3-下列函数中，哪些是指数函数？①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝(2a－1)xa12，且a≠1；⑤y＝2×3x.【解】①中底数－80，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是关于x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a0且a≠1时，才是指数函数；④因为a＞12且a≠1，所以2a－1＞0且2a－1≠1，所以y＝(2a－1)xa＞12，且a≠1为指数函数．⑤中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构特征；②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．(2)已知某函数是指数函数求参数值的方法①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程；②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．[提醒]解决指数函数问题时，要特别注意底数大于零且不等于1这一条件．1．若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或2B．a＝1C．a＝2D．a＞0且a≠1解析：选C.由指数函数的定义得a2－3a＋3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝2.2．如果指数函数y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么f(4)·f(2)等于________．-4-解析：设y＝f(x)＝ax(a0，且a≠1)，所以a－2＝14，所以a＝2，所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.答案：64指数函数的图象根据函数f(x)＝12x的图象，画出函数g(x)＝12|x|的图象，并借助图象，写出这个函数的一些重要性质．【解】g(x)＝12|x|＝12x（x≥0），2x（x0），其图象如图．由图象可知，函数g(x)的定义域为R，值域是(0，1]，图象关于y轴对称，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．求解指数函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．1．函数y＝ax－2＋1(a0且a≠1)的图象必经过点()A．(0，1)B．(1，1)C．(2，0)D．(2，2)解析：选D.因为当x＝2时，y＝ax－2＋1＝2恒成立，所以函数y＝ax－2＋1(a0且a≠1)的图象必经过点(2，2)．2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()-5-A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0解析：选D.从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0a1；从曲线的位置看，是由函数y＝ax(0a1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b0，即b0.指数型函数的定义域、值域问题求下列函数的定义域和值域．(1)y＝23－|x|；(2)y＝1－2x.【解】(1)定义域为R.因为|x|≥0，所以y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1.故y＝23－|x|的值域为[1，＋∞)．(2)因为1－2x≥0，所以2x≤1.所以2x≤20.所以x≤0.又因为02x≤1，所以－1≤－2x0，所以0≤1－2x1.所以函数的定义域为(－∞，0]，值域为[0，1)．函数y＝af(x)的定义域与值域的求法(1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．(2)形如y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论．(3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．1．函数y＝3x2－2－9的定义域为________．解析：由题意有3x2－2－9≥0，即3x2－2≥32，所以x2－2≥2，即x2≥4，所以x≥2或x≤－2.-6-故所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．解：①当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，所以a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)；②当a＞1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或a＝32.1．下列函数是指数函数的是()A．y＝π2xB．y＝(－9)xC．y＝2x－1D．y＝2×5x解析：选A.指数函数形如y＝ax(a0，a≠1)，所以选A.2．若函数f(x)＝12a－3·ax是指数函数，则f12的值为()A．2B．－2C．－22D．22解析：选D.因为函数f(x)是指数函数，所以12a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f12＝812＝22.3．函数f(x)＝2x－3(1x≤5)的值域是()A．(0，＋∞)B．(0，4)C.14，4D.0，14解析：选C.因为1x≤5，所以－2x－3≤2.而函数f(x)＝2x－3在其定义域上是单调递增的，所以14f(x)≤4，即所求函数的值域为14，4.-7-4．函数y＝ax－a(a0，且a≠1)的图象可能是()解析：选C.函数y＝ax－a(a0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，故可排除选项A，B，D.5．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－4；(2)y＝23－|x|.解：(1)要使函数有意义，则x－4≠0，解得x≠4.所以函数y＝21x－4的定义域为{x|x≠4}．因为1x－4≠0，所以21x－4≠1，即函数y＝21x－4的值域为{y|y0，且y≠1}．(2)要使函数有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.所以函数y＝23－|x|的定义域为{x|x＝0}．因为x＝0，所以23－|x|＝230＝1，即函数y＝23－|x|的值域为{y|y＝1}．[A基础达标]1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝12x－1；②y＝ax(a0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝122x－1.A．0B．1C．3D．4解析：选B.由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝1－3x的定义域是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，＋∞)-8-解析：选B.因为1－3x≥0，即3x≤1，所以x≤0，即x∈(－∞，0]．3．已知函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是()解析：选B.对于函数f(x)＝ax，当x＝0时，f(0)＝a0＝1，当x＝2时，f(2)＝a2.由于指数函数是单调函数，则有a21，即a1.则函数f(x)的图象是上升的，且在x轴上方，结合选项可知B正确．4．(2019·四川凉山州期中测试)函数y＝4－2x－1的值域为()A．[1，＋∞)B．(－1，1)C．(－1，＋∞)D．[－1，1)解析：选D.因为4－2x≥0，所以2x≤4，即x≤2，即函数的定义域是(－∞，2]．因为02x≤4，所以－4≤－2x0，所以0≤4－2x4.令t＝4－2x，则t∈[0，4)，所以t∈[0，2)，所以y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D.5．已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则()A．a＞1，b＞1B．a＞1，0＜b＜1C．0＜a＜1，b＞1D．0＜a＜1，0＜b＜1解析：选D.根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，所以指数函数的底数a∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)，-9-故选D.6．函数f(x)＝2x在[－1，3]上的最小值是________．解析：因为f(x)＝2x在[－1，3]上单调递增，所以最小值为f(－1)＝2－1＝12.答案：127．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．解析：由2－m＝0，a2－m＋2＝3得m＝2.答案：28．已知函数y＝ax－1的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________．解析：由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0a1.答案：(0，1)9．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－1；(2)y＝132x2－2.解：(1)要使y＝21x－1有意义，需x≠0，则21x0且21x≠1，故21x－1－1且21x－1≠0，故函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠0}，值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y＝132x2－2的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0132x2－2≤9，所以函数y＝132x2－2的值域为(0，9]．10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．解：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，所以a2－1＝a＝12.(2)由(1)得f(x)＝12x－1(x≥0)，函数为减函数，当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)的值域是(0，2]，所以函数y＝f(x)＋1＝12x－1＋1(x≥0)的值域是(1，3]．[B能力提升]-10-11．已知1nm0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(