2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换教师用书 新人

-1-5．5.2简单的三角恒等变换考点学习目标核心素养半角公式的推导了解半角及其推导过程逻辑推理三角恒等变换灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P225－P228，并思考以下问题：1．如何用cosα表示sin2α2，cos2α2和tan2α2？2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？1．半角公式2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)(其中tanθ＝ba)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．()(2)cosα2＝1＋cosα2.()(3)对于任意α∈R，sinα2＝12sinα都不成立．()答案：(1)×(2)×(3)×-2-若cosα＝13，且α∈(0，π)，则cosα2的值为()A.63B．－63C．±63D．±33答案：A已知cosα＝45，α∈3π2，2π，则sinα2等于()A．－1010B.1010C.3310D．－35答案：B已知cosθ＝－35，且180°＜θ＜270°，则tanθ2＝________．答案：－2应用半角公式求值已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝45，sinβ＝1213，求cosα－β2的值．【解】因为α为钝角，β为锐角，sinα＝45，sinβ＝1213，所以cosα＝－35，cosβ＝513.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×513＋45×1213＝3365.因为π2＜α＜π且0＜β＜π2，所以0＜α－β＜π，即0＜α－β2＜π2.所以cosα－β2＝1＋cos（α－β）2＝1＋33652＝76565.利用半角公式求值的思路-3-(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2计算．1．已知sinα＝－45且π＜α＜3π2，则sinα2＝________．解析：因为sinα＝－45，π＜α＜3π2，所以cosα＝－35.又π2＜α2＜3π4，所以sinα2＝1－cosα2＝1＋352＝255.答案：2552．已知cos2θ＝－2325，π2θπ，求tanθ2的值．解：因为cos2θ＝－2325，π2θπ，依半角公式得sinθ＝1－cos2θ2＝1＋23252＝265，cosθ＝－1＋cos2θ2＝－1－23252＝－15，所以tanθ2＝1－cosθsinθ＝1＋15265＝62.三角函数式的化简-4-化简（1－sinα－cosα）sinα2＋cosα22－2cosα(－π＜α＜0)．【解】原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22×2sin2α2＝2sinα2sinα2－cosα2sinα2＋cosα22sinα2＝sinα2sin2α2－cos2α2sinα2＝－sinα2cosαsinα2.因为－π＜α＜0，所以－π2＜α2＜0，所以sinα2＜0，所以原式＝－sinα2cosα－sinα2＝cosα.(变条件)若本例中式子变为（1＋sinθ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？解：原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2-5-＝－cosθ2cosθcosθ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cosθ2＞0，所以原式＝－cosθ.三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．化简：cos3π2－α－tanα2·（1＋cosα）1－cosα(0＜α＜π)．解：因为tanα2＝sinα1＋cosα，所以(1＋cosα)tanα2＝sinα，又因为cos3π2－α＝－sinα，且1－cosα＝2sin2α2，所以原式＝－sinα－sinα2sin2α2＝－2sinα2sinα2＝－22sinα2cosα2sinα2.因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2.所以sinα2＞0.-6-所以原式＝－22cosα2.与三角函数性质有关的问题已知函数f(x)＝cos(π＋x)cos32π－x－3cos2x＋32.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)求f(x)在π6，2π3上的单调递增区间．【解】f(x)＝(－cosx)·(－sinx)－3·1＋cos2x2＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin2x－π3.(1)f(x)的最小正周期为π，最大值为1.(2)令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π12≤x≤kπ＋512π(k∈Z)，所以f(x)在π6，5π12上单调递增，即f(x)在π6，2π3上的单调递增区间是π6，5π12.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f（x）＝asinωx＋bcosωx＋k的形式↓利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，研究其性质1．已知函数f(x)＝cos2x－π12＋sin2x＋π12－1，则f(x)()A．是奇函数B．是偶函数-7-C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A.f(x)＝1＋cos2x－π62＋1－cos2x＋π62－1＝12cos2x－π6－cos2x＋π6＝12sin2x，是奇函数．故选A.2．已知函数f(x)＝sinx－23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，2π3上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinx＋3cosx－3＝2sinx＋π3－3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3，所以π3≤x＋π3≤π.当x＋π3＝π，即x＝2π3时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间0，2π3上的最小值为f2π3＝－3.1．若sin(π－α)＝－53且α∈π，3π2，则sinπ2＋α2等于()A．－63B．－66C.66D.63解析：选B.由题意知sinα＝－53，α∈π，3π2，所以cosα＝－23.因为α2∈π2，3π4，-8-所以sinπ2＋α2＝cosα2＝－1＋cosα2＝－66.故选B.2．化简：1＋cos（3π－θ）23π2θ2π＝________．解析：原式＝1－cosθ2＝sinθ2，因为3π2θ2π，所以3π4θ2π，所以sinθ20，故原式＝sinθ2.答案：sinθ23．已知α∈0，π2，β∈π2，π，cosβ＝－13，sin(α＋β)＝79.(1)求tanβ2的值；(2)求sinα的值．解：(1)因为β∈π2，π，cosβ＝－13，则sinβ＝223，tanβ2＝sinβ1＋cosβ＝2231－13＝2.(2)因为α∈0，π2，β∈π2，π，故α＋β∈π2，3π2，从而cos(α＋β)＝－1－sin2（α＋β）＝－1－792＝－429，所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝79×－13－－429×223＝13.[A基础达标]-9-1．已知sin2α＝13，则cos2α－π4＝()A．－13B．－23C.13D.23解析：选D.cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝1＋sin2α2＝23.2．若cos2α＝－45，且α∈π2，π，则sinα＝()A.31010B.1010C.35D．－1010解析：选A.因为α∈π2，π，所以sinα≥0，由半角公式可得sinα＝1－cos2α2＝31010.3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725，则它的底角的余弦值为()A.34B.35C.12D.45解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cosα＝725.又β＝π2－α2，所以cosβ＝cosπ2－α2＝sinα2＝1－7252＝35，故选B.4．若α∈π2，π，则1＋cos2α2－1－cos2α2等于()A．cosα－sinαB．cosα＋sinαC．－cosα＋sinαD．－cosα－sinα解析：选D.因为α∈π2，π，所以sinα≥0，cosα≤0，-10-则1＋cos2α2－1－cos2α2＝cos2α－sin2α＝|cosα|－|sinα|＝－cosα－sinα.5．(2019·贵州遵义航天高级中学月考)函数f(x)＝cos2x－2cos2x2(x∈[0，π])的最小值为()A．1B．－1C.54D．－54解析：选D.由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2x2＝cos2x－(1＋cosx)＝cos2x－cosx－1，设t＝cosx(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝t－122－54，所以当t＝12，即x＝π3时，y取得最小值，为－54，所以函数f(x)的最小值为－54，故选D.6．已知sinθ2－cosθ2＝63，则cos2θ＝________．解析：因为sinθ2－cosθ2＝63，所以1－sinθ＝23，即sinθ＝13，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－29＝79.答案：797．已知sinπ6＋α＝23，则cos2π6－α2＝________．解析：因为cosπ3－α＝sinπ2－π3－α＝sinπ6＋α＝23，所以cos2π6－α2＝1＋cosπ3－α2＝1＋232＝56.答案：56-11-8．若3sinx－3cosx＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．解析：因为3sinx－3cosx＝2332sinx－12cosx＝23sinx－π6，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.答案：－π69．已知180°α270°，且sin(270°＋α)＝45，求tanα2的值．解：因为sin(270°＋α)＝45，所以cosα＝－45.又180°α270°，所以90°α2135°.所以tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－－451＋－45＝－3.10．化简：cos3π2－α－tanα2·（1＋cosα）1－cosα(0απ)．解：因为tanα2＝sinα1＋cosα，所以(1＋cosα)tanα2＝sinα.又因为cos3π2－α＝－sinα，且1－cosα＝2sin2α2，所以原式＝－sinα－sinα2sin2α2＝－