2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用教师用书 新人教A版必

-1-5．7三角函数的应用考点学习目标学科素养三角函数模型的构建了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型数学抽象、数学建模三角函数模型在实际问题中的应用会用三角函数模型解决简单的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P242－P248，并思考以下问题：1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？2．解三角函数应用题有哪四步？1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义■名师点拨当A0或ω0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin2x－π4的初相不是φ＝－π4.2．三角函数模型的建立程序判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.()-2-(2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.()(3)“五点法”作函数y＝2sinx＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为π3，0.()答案：(1)×(2)×(3)×函数y＝2sinx2＋π5的周期、振幅依次是()A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－2答案：B函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()A．A＝3，T＝5π6B．A＝3，T＝5π3C．A＝32，T＝5π6D．A＝32，T＝5π3答案：D已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为()A．60B．70C．80D．90答案：C已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200s时，电流强度为()A．5AB．2.5AC．2AD．－5A答案：B三角函数在物理中的应用已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与-3-时间t(s)的函数关系式为h＝3sin2t＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．【解】(1)令t＝0，得h＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为0，322.(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为π8，即所求最高点为π8，3；当h＝－3时，t的最小值为5π8，即所求最低点为5π8，－3.利用三角函数处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin2πt＋π3，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为()A．2sB．1sC.12sD.14s解析：选C.由题意，知周期T＝2π2π＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s.2.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2.(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t在任意一段1150s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解：(1)由题图知A＝300，周期-4-T＝21180＋1900＝175，所以ω＝2πT＝150π.又当t＝1180时，I＝0，即sin150π·1180＋φ＝0，而|φ|＜π2，所以φ＝π6.故所求的解析式为I＝300sin150πt＋π6.(2)依题意，周期T≤1150，即2πω≤1150，所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.三角函数在实际生活中的应用如图一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？【解】(1)如图，建立直角坐标系，设角φ－π2φ0是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为5×2π60＝π6，又水轮的半径为4m，圆心O距离水面2m，所以z＝4sinπ6t＋φ＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数表达式为z＝4sinπ6t－π6＋2.(2)令z＝4sinπ6t－π6＋2＝6，-5-得sinπ6t－π6＝1.取π6t－π6＝π2，得t＝4.故点P第一次到达最高点需要4s.解三角函数应用问题的基本步骤下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①yA＝cosπx6；②y－46A＝cosπx6；③y－46－A＝cosπx6；④y－26A＝sinπx6.解：(1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．(3)1月份的平均气温最低，为21.47月份的平均气温最高，为73.0根据散点-6-图知T2＝7－1＝6，所以T＝12.(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.(5)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得yA＝26.025.81≠cosπ6，所以①不适合．代入②，得y－46A＝26.0－4625.80≠cosπ6，所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]解析：选C.由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.2．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为2π7，初相为π6，则这个函数的解析式为________．解析：由题意得A＝3，T＝2π7，φ＝π6，则ω＝2πT＝7，故所求函数的解析式为y＝3sin7t＋π6.答案：y＝3sin7t＋π63．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图．解：(1)设表示该曲线的函数为y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)，由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A＝2002＝100，ω＝2π12＝π6，b＝800.-7-又因为7月1日种群数量达到最高，所以π6×6＋a＝π2＋2kπ(k∈Z)．又因为|a|＜π，所以a＝－π2.故种群数量y关于时间t的函数解析式为y＝800＋100sinπ6(t－3)．(2)种群数量关于时间变化的草图如图所示．[A基础达标]1．函数y＝－2sinπ4－x2的周期、振幅、初相分别是()A．2π，－2，π4B．4π，－2，π4C．2π，2，－π4D．4π，2，－π4解析：选D.y＝－2sinπ4－x2＝2sinx2－π4，所以周期T＝2π12＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－π4.2．(2019·河南灵宝实验高中月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12h，低潮时水深9m，高潮时水深15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是()A．y＝3sinπ6t＋12B．y＝－3sinπ6t＋12C．y＝3sinπ12t＋12D．y＝3cosπ12t＋12解析：选A.根据题意，由ω＝2πT＝2π12＝π6，排除选项C，D.当t＝3时，3sinπ6t＋12-8-＝3sinπ6×3＋12＝15，符合题意，－3sinπ6t＋12＝－3sinπ6×3＋12＝9.不符合题意，故选项B错误．3．(2019·山东聊城期末考试)已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P012，－32开始，按逆时针方向以角速度1rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为()A．y＝sint－π3，t≥0B．y＝sint－π6，t≥0C．y＝－cost－π3，t≥0D．y＝－cost－π6，t≥0解析：选A.由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－π3，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sint－π3，t≥0，故选A.4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin5π12t－π6，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.解析：当t＝12时，f(12)＝2sin5π－π6＝2sin5π6＝1.答案：15．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．解析：秒针1s转π30弧度，ts后秒针转了π30t弧度，如图所示，sinπt60＝d25，所以d＝10sinπt60.答案：10sinπt606．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度h＝40sinπ6t－π2＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续____________min.-9-解析：40sinπ6t－π2＋5070，即cosπ6t－12，从而2π3πt64π3，4t8，即持续时间为4min.答案：47．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解：(1)T＝2π|ω|＝2π160π＝180(min)．(2)f＝1T＝80.(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg，在正常值范围内．8.如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm