2019-2020学年高中数学 第2章 解三角形章末复习课教案 北师大版必修5

-1-第2章解三角形利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠A＝60°，c＝37a．(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．[解](1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sinC＝csinAa＝37×32＝3314.(2)因为a＝7，所以c＝37a＝37×7＝3，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×12，解得b＝8或b＝－5(舍去)，-2-所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×3×32＝63.解三角形的四种类型已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解.两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解．两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解.1．(1)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A．31010B．1010C．－1010D．－31010(2)在△ABC中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．(1)C[设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得13a＝csinπ4＝22c，则a＝322c．在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac＝92c2＋c2－3c2＝52c2，则b＝102C．-3-由余弦定理，可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝52c2＋c2－92c22×102c×c＝－1010.](2)[解]设最小内角为θ，三边长为n－1，n，n＋1，由正弦定理，得n－1sinθ＝n＋1sin2θ，所以n－1＝n＋12cosθ，所以cosθ＝n＋12n－1.由余弦定理的变形公式，得cosθ＝n2＋n＋12－n－122nn＋1，所以n＋12n－1＝n2＋n＋12－n－122nn＋1，解得n＝5.所以△ABC的三边分别为4,5,6.判断三角形的形状【例2】在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断△ABC的形状．[解]由已知1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB得cosCcosB＝bc，以下可有两种解法：法一：(利用正弦定理边化角)由正弦定理得bc＝sinBsinC，∴cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B、C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理角化边)由余弦定理得a2＋b2－c2·2aca2＋c2－b2·2ab＝bc，即a2(b2－c2)＝(b2＋c2)(b2－c2)，-4-解得a2＝b2＋c2或b2＝c2(即b＝c)，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．1．利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法法一：通过边之间的关系判断形状；法二：通过角之间的关系判断形状．利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系．2．判断三角形的形状时常用的结论(1)在△ABC中，A＞B⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB．(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，则cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC．(3)在△ABC中，a2＋b2＜c2⇔π2＜C＜π，a2＋b2＝c2⇔cosC＝0⇔C＝π2，a2＋b2c2⇔cosC0⇔0Cπ2.2．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形C[根据正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，又sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝25t2＋121t2－169t22×5t×11t＝－231100，∴角C为钝角．故选C．]-5-三角形中的几何计算【例3】在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，且A∶∠ABC∶C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，求AB的长．[解]如图所示，连接BD．∵A＋∠ABC＋C＋∠ADC＝360°，∴A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，∠ADC＝150°，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝a2＋4a2－2a·2a·cos60°＝3a2，∴BD＝3A．∴BD2＋BC2＝CD2，∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝15°，∴∠BDA＝120°.在△ABD中，由ABsin∠BDA＝BDsinA，得AB＝BD·sin∠BDAsinA＝3asin120°sin45°＝322A．解决三角形中的几何计算问题要注意把握三点：一是对几何图形中几何性质的挖掘，它往往是解题的切入点；二是根据条件或图形，找出已知、未知及求解中需要的三角形，合理利用正、余弦定理和三角恒等变换公式；三是要有应用方程思想解题的意识，同时还要有引入参数，突出主元，简化问题的解题意识．-6-3．如图所示，已知∠MON＝60°，Q是∠MON内一点，它到两边的距离分别为2和11，求OQ的长．[解]作QA⊥OM于A，QB⊥ON于B，连接AB，则QA＝2，QB＝11，且O，A，Q，B都在以OQ为直径的圆上．∠AOB和∠AQB为同一弦AB所对的圆周角，且两角互补．∵∠AOB＝60°，∴∠AQB＝120°.在△AQB中，由余弦定理，得AB2＝AQ2＋BQ2－2·AQ·BQ·cos∠AQB＝22＋112－2×2×11×cos120°＝147，∴AB＝73.连接OQ，在Rt△OBQ中，OQ＝OBsin∠OQB＝OBsin∠OAB.又在△AOB中，OBsin∠OAB＝ABsin60°，∴OQ＝ABsin60°＝14.解三角形与平面向量的综合应用【例4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝1.(1)求证：A＝B；(2)求边长c的值；(3)若|AB→＋AC→|＝6，求△ABC的面积．[解](1)证明：∵AB→·AC→＝BA→·BC→，∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB．由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，∴sin(A－B)＝0.∵－πA－Bπ，-7-∴A－B＝0，即A＝B．(2)∵AB→·AC→＝1，∴bccosA＝1.由余弦定理，得bc×b2＋c2－a22bc＝1，即b2＋c2－a2＝2.∵由(1)，得a＝b，∴c2＝2，∴c＝2.(3)∵|AB→＋AC→|＝6，∴|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→＝6，即∵c2＋b2＋2＝6，∵c2＋b2＝4，∴c2＝2，∴b2＝2，b＝2.∴△ABC为正三角形．∴S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32.在高考中解三角形问题常与平面向量知识(主要是数量积)结合在一起进行考查．判断三角形形状或结合正弦定理、余弦定理求值，这也是高考命题的新趋势．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，且AC→·AB→＝4，求△ABC的面积S.[解]由已知得b2＋c2＝a2＋bc，∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∴cosA＝12，sinA＝32.由AC→·AB→＝4，得bccosA＝4，∴bc＝8.∴S＝12bcsinA＝23.与三角形有关的-8-综合问题[探究问题]1．在△ABC中，由a2＋b2－c2＝－ab可得到什么？[提示]由a2＋b2－c2＝－ab得a2＋b2－c22ab＝－12，即cosC＝－12，故C＝120°.2．在△ABC中，若A＋B＝2π3，能否求出sinA＋sinB的范围？[提示]用角B表示角A得B＝2π3－A，则sinA＋sinB＝sinA＋sin2π3－A，化为一个角的三角函数可求其范围．【例5】在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．(1)求角C的大小；(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．思路探究：(1)利用正弦定理把角转化为边，然后利用余弦定理求角C；(2)利用正弦定理得到周长的表达式化为一个角的三角函数求范围．[解](1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，又∵0Cπ，∴C＝2π3.(2)由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋3＝2sinA＋sinπ3－A＋3＝2sinA＋π3＋3.∵0Aπ3，∴π3＜A＋π3＜2π3，∴32sinA＋π3≤1，∴232sinA＋π3＋3≤2＋3，∴△ABC周长的取值范围是(23，2＋3]．1．(变结论)例5的条件不变，若c＝2，a＝3，求sin2B的值．[解]由例5的解答可知C＝2π3，由正弦定理-9-asinA＝csinC，即sinA＝asinCc＝3×322＝34，由于c＞a，故A是锐角，cosA＝1－sin2A＝74，所以sin2A＝2sinAcosA＝378，cos2A＝2cos2A－1＝－18，得sin2B＝sin2π3－A＝sin2π3－2A＝32cos2A＋12sin2A＝32×－18＋12×378＝37－316.2．(变条件)把例5的条件换为“2ccosB＝2a＋b”，求角C．[解]由正弦定理及2ccosB＝2a＋b得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，则2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB，即2sinBcosC＋sinB＝0，又0＜B＜π，所以sinB＞0，则cosC＝－12，又C∈(0，π)，故C＝2π3.与三角形有关的综合问题的解法该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．