2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修2-

-1-1.3.2极大值与极小值学习目标核心素养1.会求函数的极大值与极小值．(重点)2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点)3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)1.通过极大(小)值的学习，培养数学抽象素养．2．通过求函数的极值及应用，培养数学运算、直观想象素养.1．函数极大(小)值的概念设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．思考1：极大值一定比极小值大吗？[提示]不一定，函数的极大值、极小值是一个局部概念，由图象易知函数的极大值也可能比极小值小．2．函数的极值与导数的关系(1)极大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)0f′(x)＝0f′(x)0f(x)增极大值f(x1)减(2)极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)0f′(x)＝0f′(x)0f(x)减极小值f(x2)增思考2：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0,但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．-2-1．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A[由f′(x)的图象可知，在x＝x2附近当xx2时，f′(x)0，函数单调递增，当xx2时，f′(x)0，函数单调递减，故点x2是函数的极大值点，同理x3是函数的极小值点，x1，x4不是极值点．]2．函数f(x)＝x44－x33的极值点为()A．0B．－1C．0或1D．1D[∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.又当x＞1时f′(x)＞0，0＜x＜1时f′(x)＜0，∴1是f(x)的极小值点．又x＜0时f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．]3．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值C[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当－2x－1时，y′0；当－1x2时，y′0，故当x＝－1时，y极大值＝5；x取不到3，无极小值．]4．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则a＝________，b＝________.-3-－3－24[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b两零点为－2,4，∴－2＋4＝－2a3，－2×4＝b3，∴a＝－3，b＝－24.]求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝x2－2x－1；(2)f(x)＝x44－23x3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解](1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.因为当x1时，f′(x)0，当x1时，f′(x)0，所以函数在x＝1处有极小值，且y极小值＝－2.(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6.(3)f(x)＝|x|＝x，x≥0，－x，x0.显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，当x0时，f′(x)＝x′＝10，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；当x0时，f′(x)＝(－x)′＝－10，-4-函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝0.1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：①f′(x0)＝0；②点x0两侧f′(x)的符号不同．(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝x，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x2－2lnx，则f(x)的极小值是________．1[∵f′(x)＝2x－2x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.]利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．[思路探究](1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(－1)＝32求出c，再列表求解．[解](1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，-5-令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－23为f′(x)＝0的解．∴1－23＝－23a，1×－23＝b3，∴a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增4927单调递减－12单调递增∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1.当x＝－23时，f(x)有极大值为f－23＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有-6-两个极值点，求实数m的取值范围．[解]f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．所以Δ＝m＋32－4m＋60，f′1＝1－m＋3＋m＋60，m＋321，解得m3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．极值的综合应用[探究问题]1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．提示：f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．由f′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)．2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有几解？提示：方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a＞60或a＜－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．【例3】已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.-7-当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．由已知应有2＋a0，－2＋a0，解得－2a2，故实数a的取值范围是(－2,2)．1．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？[解]由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2.2．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．[解]由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2.利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．1．极值是一个局部概念，因此极大值与极小值没有必然的大小关系．2．求导数极值仍然遵循定义域优先的原则．3．因为f′(x0)＝0是函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，所以在由极值求参数时要注意检验，以免产生增根．4．利用极值研究函数零点问题要注意数形结合思想的应用.-8-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()[答案](1)√(2)√(3)×2．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A．在(1,2)上函数f(x)为增函数B．在(3,4)上函数f(x)为减函数C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]3．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[由f′(x)＝－2x2＋1x＝1x1－2x＝0可得x＝2.当0x2时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f′(x)0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．]4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，-9-即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]5．求函数y＝x4－4x3＋5的极值．[解]y′