2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第1课

-1-第1课时直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点)2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点)3.会求简单的弦长及圆的切线方程等问题．(重点)1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系培养直观想象素养.2.通过求简单的弦长及圆的切线方程等问题提升数学运算素养.直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系的判断方法：位置关系图示几何法代数法相离drΔ0相切d＝rΔ＝0相交drΔ0其中Δ是由Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程的判别式．思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交-2-D[圆心为(1，－1)，圆心距d＝|3－4＋12|32＋42＝115＜3＝r，所以直线与圆相交．]2．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[圆x2＋(y－1)2＝2的圆心为(0,1)，半径为r＝2，圆心(0,1)到直线x＋y－a＝0的距离d＝|1－a|2，依题意，|1－a|22，解得a－1或a3.]3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.23[d＝55＝5，所以|AB|＝2r2－d2＝28－5＝23.]直线与圆位置关系的判断【例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ0时，即m0或m－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ0时，即－43m0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.当d2时，即m0或m－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d2时，即－43m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．-3-直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过对定点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相交或相切D．相切C[直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而点(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.]直线与圆相切问题【例2】(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为()A．2x－y＋9＝0B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0D．2x－y－9＝0(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．3(3)求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程．(1)B(2)C[(1)由题意得，圆心(1,2)，切点P(3,3)，则切线斜率为－2.所以切线方程为y－3＝－2(x－3)，即：2x＋y－9＝0.(2)由题意得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.](3)解：易知点P(2,3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝|k－1|1＋k2＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3.]过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种方法：1几何法：设切线方程为y－y0＝kx－x0，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，-4-可求得k，进而求出切线方程.2代数法：设切线方程为y－y0＝kx－x0，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出.,另外：要注意过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法.当求得k值是一个时，则另一条切线的斜率一定不存在.2．求过点M(3,1)，并且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程．[解]∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.∴切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.弦长问题[探究问题]1．如图，直线l与圆O相交于A，B两点，结合图形思考下列问题：若弦AB的长记为L，结合图形请写出L，d，r之间的关系式．提示：L＝2r2－d2.2．设直线y＝kx＋b与圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．则|AB|的长为多少？提示：|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋kx1－kx22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2.【例3】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．[思路探究]本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解，若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．[解]法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝5.-5-点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，t＝2r2－d2＝10，所以截得的弦长为10.法二：设直线l与圆C交于A、B两点．由3x＋y－6＝0，x2＋y2－2y－4＝0，得交点A(1,3)，B(2,0)，所以弦AB的长为|AB|＝2－12＋0－32＝10.1．若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为10，求该直线方程”，又如何求解．[解]由例题知，圆心C(0,1)，半径r＝5，又弦长为10.所以圆心到直线的距离d＝r2－1022＝5－52＝102.又直线过点(2,0)，知直线斜率一定存在．可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，所以d＝|－1－2k|k2＋1＝102，解得k＝－3或k＝13，所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝13(x－2)，即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.2．本例若改为“求过点M(1,2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？[解]由例题知圆心C(0,1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.因为12＋(2－1)25，故点M(1,2)在圆内．则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM＝1，所以所求直线的斜率为－1，又过点M(1,2)，所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.线与圆相交弦长的求法：,1几何法：求圆心到直线的距离d，再利用公式l＝2r2－d2.2代数法：直线方程与圆的方程联立，消去x或y，利用公式1＋k2|x1－x2|或1＋1k2|y1－y2|求解也可以直接求出两点坐标，利用两点间距离公式求得.求直线被图截得的弦长时，通常用几何法，其求解过程转为简捷.-6-1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．1．思考辨析(1)直线与圆最多有两个公共点．()(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．()(3)若A、B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．()(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．()[解析](3)×，AB与圆O可相交、相切、也可相离．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m0)相切，则m的值为________．2[由圆心到直线的距离d＝|m|2＝m，解得m＝2.]3．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线，其切线长是________．1[点P到原点O的距离为|PO|＝10，∵r＝3，∴切线长为10－9＝1.]4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，求直线l的方程．[解]将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，所以，圆心的坐标是(0，－2)，半径长r＝5.因为直线被圆截得的弦长为45，所以，弦心距为52－4522＝5，设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由弦心距为5，得|0＋2＋3k－3|k2＋1＝5，解得k＝－12或k＝2，所以，所求直线有两条，它们的方程分别为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.-7-